Рациональные тригонометрические суммы

Если ${\displaystyle \varphi (x)=ax}$, то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что ${\displaystyle {S_{\varphi }}(q)=q[{q\mid a}]}$. Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными.

Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{2}}$ называются суммами Гаусса.

Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно

${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|={\begin{cases}{\sqrt {q}},&q\equiv 1\mod 2\\{\sqrt {2q}},&q\equiv 0\mod 4\\0,&q\equiv 2\mod 4\end{cases}}}$

Далее для удобства изложения примем ${\displaystyle n=\deg \varphi }$.

Хуа вывел оценку ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|<c(n)q^{1-{\frac {1}{n}}}}$, где ${\displaystyle c(n)}$ — константа, зависящая только от ${\displaystyle n}$. То есть ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|=O(q^{1-{\frac {1}{n}}})}$ при фиксированном ${\displaystyle n}$.[1]

Если ${\displaystyle \varphi (x)=ax^{n}}$, то при простом ${\displaystyle q>2}$ верна более точная оценка ${\displaystyle |{S_{\varphi }}(q)|\leq (n-1){\sqrt {q}}}$.[2]

Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {ax}{q}}}$ выполнено

${\displaystyle \left\vert {\sum \limits _{x=1}^{m}{e^{2\pi i\varphi (x)}}}\right\vert =\left\vert {\frac {e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}-e^{2\pi i{\frac {a(m+1)}{q}}}}{1-e^{2\pi i{\frac {a}{q}}}}}\right\vert \leq {\frac {2}{\min \left({\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace ,1-\left\lbrace {\frac {a}{q}}\right\rbrace }\right)}}}$,

где ${\displaystyle \left\lbrace {x}\right\rbrace }$ означает дробную часть числа ${\displaystyle x}$.

А. А. Карацуба доказал[3], что при ${\displaystyle n>\left({{\frac {1}{2\log {2}}}-\varepsilon }\right){\frac {p}{\log {p}}},\ \varphi (x)=ax^{n}}$ существует бесконечно много простых ${\displaystyle p}$, для которых ${\displaystyle |S_{\phi }(p)|>\left({1-\delta (\varepsilon )}\right)p}$, где ${\displaystyle \delta (\varepsilon )\to 0}$ при ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$, то есть при таких ${\displaystyle n}$ для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.