Суммы Рамануджана

Суммы Рамануджана — это тригонометрические суммы, зависящие от двух целочисленных параметров $k$ и $n$ , вида:

c_{k}(n)=\sum _{h}\cos \left({\frac {2\pi nh}{k}}\right)=\sum _{h}\exp \left({\frac {2\pi nhi}{k}}\right),

где $h<k,\;h\in \mathbb {Z} _{0}$ и $(h,\;k)=1$ .

Основным свойством сумм Рамануджана является их мультипликативность относительно индекса $k$ , то есть

c_{kk'}(n)=c_{k}(n)c_{k'}(n),

если $(k,\;k')=1$ .

Суммы $c_{k}(n)$ можно представить через функцию Мёбиуса $\mu$ :

c_{k}(n)=\sum _{d\setminus (k,\;n)}\mu \left({\frac {k}{d}}\right)d.

Суммы Рамануджана ограничены при ограниченных либо $k$ , либо $n$ . Так, например, $c_{k}(1)=1$ .

Применение сумм Рамануджана

Многие мультипликативные функции от натурального аргумента могут быть разложены в ряды по $c_{k}(n)$ . Верно и обратное.

Основные свойства сумм позволяют вычислять суммы вида:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{n^{s}}}f(n),\quad \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}f(k),

где $f(n)$ — мультипликативная функция, $q$ — целое число, $s$ — в общем случае, комплексное.

В простейшем случае, можно получить

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {c_{k}(qn)}{k^{s}}}={\frac {\sigma _{1-s}(n)}{\zeta (s)}},

где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана, $\sigma _{k}(n)$ — сумма $k$ -х степеней делителей числа $n$ .

Такие суммы тесно связаны с особыми рядами некоторых аддитивных проблем теории чисел, например, представление натуральных чисел в виде чётного числа квадратов. В работе [1] приведены многие формулы, содержащие данные суммы.

Литература

Ramanujan S. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1918. — v. 22. — p. 259—276.
Hardy G. H. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1920/21. — v. 20. — p. 263—271.
Ramanujan S. Collected papers. — Cambridge, 1927. — p. 137—141.
Volkmann В. Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1974. — Bd 271. — S. 203—213.
Tитчмapш, E. К. Теория дзета-функции Римана. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 407 с. — ISBN 5114800906..
Левин В. И. Историко-математические исследования. — т. 13. — М.: ВИНИТИ, 1960.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.