Принцип наименьшего принуждения

При́нцип наименьшего принуждения, или при́нцип Га́усса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.

Принцип наименьшего принуждения относится к числу дифференциальных вариационных принципов механики и предложен[1] К. Ф. Гауссом в 1829 г. в работе «Об одном новом общем законе механики». Принцип применим к механическим системам с идеальными связями и сформулирован Гауссом так: «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, т. е. происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной»[2].

Формулировка принципа у Гаусса не отличалась достаточной определённостью. Для аналитического оформления данного принципа большое значение имела[3] работа Г. Шеффлера (1820—1903) «О Гауссовом основном законе механики», опубликованная в 1858 г. В ней Шеффлер переопределил[4] принуждение как следующее (в современных обозначениях[5]) выражение:

  ,

где  — число точек, входящих в систему,  — масса -й точки, — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  — ускорение данной точки (в действительности Шеффлер пользовался скалярной формой записи, причём множитель перед знаком суммы у него отсутствовал). После этого математическим выражением принципа наименьшего принуждения стало наличие минимума у функции .

Обоснование

Рис.1

Пусть точка механической системы с массой в момент времени находится в положении . При свободном движении точка за очень малый промежуток пройдёт расстояние    (рис.1), где   — скорость точки в момент времени . Если же на точку будет действовать активная сила , точка под воздействием этой силы совершит перемещение . Разложив в ряд по времени вектор перемещения, будем иметь:

Но

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

Если же на точку наложить связи, то её перемещение по действием силы и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

,

где — ускорение точки в её действительном движении. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором . Очевидно, что

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения , которую и назвал принуждением. Принуждение для точки с массой имеет следующее выражение:

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

Из приведённого в начале статьи определения следует, что для ускорений в действительном движении

причем вариация берётся только по ускорениям, а координаты и скорости полагаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

Значение принципа Гаусса

Одним из первых высоко оценил значение принципа наименьшего принуждения Гаусса выдающийся русский математик и механик М. В. Остроградский, который придавал особенно большое значение подходу Гаусса к пониманию связей. В своём мемуаре 1836 г. «О мгновенных перемещениях системы, подчинённой переменным условиям» Остроградский указывал такое следствие из принципа Гаусса: давление на связи со стороны точек системы в истинном движении системы должно быть минимальным по сравнению с другими кинематически осуществимыми движениями[6]. В 1878 г. И. И. Рахманинов придал[7] принципу Гаусса энергетическую трактовку, переформулировав его как принцип наименьшей потерянной работы[8].

Французский математик Ж. Бертран охарактеризовал принцип Гаусса как «красивую теорему, содержащую одновременно общие законы равновесия и движения и являющуюся, по-видимому, наиболее общим и изящным выражением, какое только им было придано»[9].

Принцип наименьшего принуждения обладает весьма большой общностью, так как применим к самым различным механическим системам: к консервативным и неконсервативным, к голономным и неголономным. Поэтому, в частности, он часто используется[10] в качестве исходного пункта при выводе уравнений движения неголономных систем. Вместе с тем принцип Гаусса используют и непосредственно — в задачах, связанных с компьютерным моделированием динамики систем твёрдых тел (в частности, манипуляционных роботов); при этом выполняется численная минимизация принуждения методами математического программирования[11].

Принцип Гаусса обобщён[12] на случай освобождения системы от части связей[13][14], а также на случай систем, стеснённых неидеальными связями, и на случай сплошных сред[15].

См. также

Примечания

  1. Тюлина, 1979, с. 178.
  2. Гаусс К.  Об одном новом общем принципе механики (Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik (недоступная ссылка) // Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 1829. Bd. IV. — S. 232—235.) // Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. — М.: Физматгиз, 1959. — 932 с. — С. 170—172.
  3. Моисеев, 1961, с. 334.
  4. Тюлина, 1979, с. 179—180.
  5. Маркеев, 1990, с. 90.
  6. Моисеев, 1961, с. 336.
  7. Рахманинов И. И.  Начало наименьшей потерянной работы как общее начало механики // Изв. Киевского ун-та. 1878. № 4. — С. 1—20.
  8. Маркеев, 2000, с. 38—39.
  9. Погребысский, 1964, с. 270.
  10. Голубев Ю. Ф.  Основы теоретической механики. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 719 с. — ISBN 5-211-04244-1. — С. 427.
  11. Верещагин А. Ф.  Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л.  Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
  12. Маркеев, 2000, с. 43.
  13. Болотов Е. А.  О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 2. 1916. Т. 21, № 3. — С. 99—152.
  14. Четаев Н. Г.  О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
  15. Румянцев В. В.  О некоторых вариационных принципах в механике сплошных сред // Прикл. матем. и мех. 1973. Т. 37. Вып. 6. — С. 963—973.

Литература

  • Вариационные принципы механики: Сб. статей / Под ред. Л. С. Полака. М.: Физматгиз, 1959. — 932 с.
  • Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965. — 408 с.
  • Маркеев А. П. О принципе Гаусса // Сборник научно-методических статей. Теоретическая механика. Вып. 23. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. — 264 с. — С. 29—45.
  • Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.
  • Моисеев Н. Д. Очерки истории развития механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1961. — 478 с.
  • Погребысский И. Б. От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. М.: Наука, 1964. — 327 с.
  • Тюлина И. А. История и методология механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. — 282 с.
  • Цыганова Н. Я. Основные этапы развития принципа наименьшего принуждения // История и методология естественных наук. М.: МГУ, 1979. Вып. 9. С. 122—134.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.