Матрица Паскаля
В математике, особенно в теории матриц и комбинаторике, ма́трица Паска́ля — это бесконечная матрица, элементами которой являются биномиальные коэффициенты. Существует три варианта расположения элементов в матрице: в виде верхнетреугольной, нижнетреугольной или симметричной матрицы. 5×5-ограничения таких матриц имеют вид:
Верхнетреугольная матрица:
нижнетреугольная матрица
симметричная матрица
Эти матрицы удовлетворяют соотношению Sn = LnUn. Отсюда легко видеть, что все три матрицы имеют единичный определитель, так как определитель треугольных матриц Ln и Un равен произведению их диагональных элементов. Другими словами, матрицы Sn, Ln, и Un унимодулярны. След матриц Ln и Un равен n.
Элементы симметричной матрицы Паскаля имеют вид:
Эквивалентно:
Таким образом, след матрицы Sn равен
в зависимости от n образуя последовательность: 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, … последовательность A006134 в OEIS.
Построение
Матрица Паскаля может быть построена посредством взятия экспоненты от поддиагональной или наддиагональной матрицей специального вида. В следующем примере строятся матрицы 7×7, но этот метод работает для любых n×n-матриц Паскаля. (Точками обозначены нулевые элементы.)
Важно отметить, что нельзя просто положить exp(A)exp(B) = exp(A + B) для n×n-матриц A и B, такое равенство имеет место только при AB = BA (то есть когда матрицы A и B коммутируют). В приведённом построении симметричных матриц Паскаля наддиагональные и поддиагональные матрицы не коммутируют. Таким образом, нельзя провести (возможно) ожидаемое упрощение, включающее сумму матриц.
Полезное свойство поддиагональных и наддиагональных матриц, используемое в данном построении - это их нильпотеность, то есть при возведении в достаточно большую целую степень они вырождаются в нулевую матрицу. (Смотри матрица сдвига для дальнейших деталей.) Так как обобщённые n×n-матрицы сдвига, которые тут используются, становятся равными нулю при возведении в степень n, то при вычислении матричной экспоненты необходимо рассматривать только первый n + 1 член бесконечного ряда, чтобы получить точный результат.
Варианты
Интересные варианты могут быть получены посредством очевидных модификаций матриц PL7, от которых берётся экспонента.
Первый пример ниже использует квадраты значений в PL7 вместо исходных и приводит к построению 7×7-матрицы Лагерра (матрицы, элементами которой являются полиномы Лагерра).
(Матрица Лагерра на самом деле использует другое масштабирование и знаки некоторых коэффициентов.)
Второй пример использует v(v + 1) в качестве элементов, если v— элементы исходной матрицы. Он приводит к построению 7×7-матрицы Лаха (матрицы с элементами в виде чисел Лаха).
Использование v(v − 1) приводит к диагональному сдвигу вниз-вправо.
Третий пример использует квадрат исходной PL7-матрицы, делёный на 2, другими словами: биномиальные коэффициенты первого порядка на второй поддиагонали и приводит к построению матрицы, которая возникает в связи с производными и интегралами от гауссовской функции ошибок:
Если обратить эту матрицу (например, снова беря экспоненту, но с другим знаком), то знаки коэффициентов меняются и дают коэффициенты производных гауссовской функции ошибок.
Другой вариант может быть получен при расширении исходной матрицы на отрицательные числа:
См. также
Литература
- G. S. Call and D. J. Velleman, "Pascal's matrices", American Mathematical Monthly, volume 100, (April 1993) pages 372–376
- Edelman, Alan & Strang, Gilbert (2004), Pascal Matrices, American Mathematical Monthly Т. 111 (3): 361–385, <http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Edelman189-197.pdf>. Проверено 21 июля 2013. Архивная копия от 4 июля 2010 на Wayback Machine
Ссылки
- G. Helms Pascalmatrix in a project of compilation of facts about binomial&related matrices
- G. Helms Gauss-matrix
- Weisstein, Eric W. Gaussian-function
- Weisstein, Eric W. Erf-function
- Weisstein, Eric W. "Hermite Polynomial." Hermite-polynomials
- Endl, Kurt "Über eine ausgezeichnete Eigenschaft der Koeffizientenmatrizen des Laguerreschen und des Hermiteschen Polynomsystems". In: PERIODICAL VOLUME 65 Mathematische Zeitschrift Kurt Endl
- "Coefficients of unitary Hermite polynomials Hen(x)" in the Online Encyclopedia of Integer Sequences A066325 (Related to Gauss-matrix).