Логарифмические тождества

Сводка тождеств[2]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5}$
Частное от деления	${\displaystyle \log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)}$	${\displaystyle \lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3}$
Степень	${\displaystyle \log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a}{x^{p}}=y}$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}={\frac {y}{p}}}$ ${\displaystyle p\cdot log_{a}{x}=y}$
Степень в основании	${\displaystyle \log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \log _{2^{10}}{\sin {({\frac {\pi }{6}})}}={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0.1}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a^{p}}{x}=y}$ ${\displaystyle a^{y\cdot p}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}=p\cdot y}$ ${\displaystyle {\frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень	${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{(x)}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{p}}}$	${\displaystyle \lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1.5}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y}$ ${\displaystyle a^{y}={\sqrt[{p}]{x}}}$ ${\displaystyle a^{p\cdot y}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}=p\cdot y}$ ${\displaystyle {\frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень в основании	${\displaystyle \log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)}$	${\displaystyle \log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \arctan {1})}=2\cdot \log _{\pi }{(4\cdot {\frac {\pi }{4}})}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2}$	Доказательство                                  ${\displaystyle \log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${\displaystyle a^{\frac {y}{p}}=x}$ ${\displaystyle log_{a}{x}={\frac {y}{p}}}$ ${\displaystyle p\cdot log_{a}{x}=y}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

${\displaystyle \log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|}$

${\displaystyle \log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|}$

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\dots +\log _{a}(x_{n})}$

${\displaystyle \log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\dots +\log _{a}|x_{n}|}$

Хотя логарифм суммы (или разности) не выражается через логарифмы слагаемых, приведенные ниже формулы могут оказаться полезными.

${\displaystyle \log _{a}(b+c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1+{\frac {c}{b}}\right)}$

${\displaystyle \log _{a}(b-c)=\log _{a}b+\log _{a}\left(1-{\frac {c}{b}}\right),\quad }$ здесь ${\displaystyle b>c}$

Обобщение:

${\displaystyle \log _{a}\sum \limits _{k=1}^{N}b_{k}=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}{\frac {b_{k}}{b_{1}}}\right)=\log _{a}b_{1}+\log _{a}\left(1+\sum \limits _{k=2}^{N}a^{\left(\log _{a}b_{k}-\log _{a}b_{1}\right)}\right)}$

Логарифм ${\displaystyle \log _{a}b}$ по основанию ${\displaystyle a}$ можно преобразовать[3] в логарифм по другому основанию ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}$

Следствие (при ${\displaystyle b=c}$) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${\displaystyle {\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}}$

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание ${\displaystyle a^{q}}$ на ${\displaystyle a}$ по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

${\displaystyle \log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b}$

Ещё одно полезное тождество:

${\displaystyle c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию ${\displaystyle a}$ совпадают (равны ${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{a}c}$), а тогда левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию ${\displaystyle d,}$ получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c}$

Это тождество легко распространить на любое число сомножителей, например:

${\displaystyle \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{d}w=\log _{b}x\cdot \log _{d}y\cdot \log _{c}z\cdot \log _{a}w}$

Другими словами, в произведении такого вида можно делать произвольную перестановку оснований логарифмов.

${\displaystyle x^{\frac {\log _{a}b}{\log _{a}x}}=b}$

Это тождество также просто доказать, прологарифмировав обе части по основанию ${\displaystyle x.}$

${\displaystyle \log _{xy}a={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}a}}+{\frac {1}{\log _{y}a}}}}}$

Для доказательства этого тождества надо дважды применить приведенное выше правило перестановки:

${\displaystyle {\frac {1}{\log _{x}a}}=\log _{a}x;\quad {\frac {1}{\log _{y}a}}=\log _{a}y;\quad {\frac {1}{\log _{a}(xy)}}=\log _{xy}a}$

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами[4]:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}$

${\displaystyle \ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}$

${\displaystyle \ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}$

Производная для логарифмической функции вычисляется по формуле:

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}}$

Определение логарифма через определённый интеграл:

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Первообразная для логарифма:

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$

Чтобы привести формулы для интегралов высоких порядков, обозначим ${\displaystyle H_{n}\ n-}$е по порядку гармоническое число:

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{n}}}$

Далее обозначим:

${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\ln x}$

${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\ln x-H_{n});\quad }$ (${\displaystyle n=1,2,3\dots }$)

Мы получаем последовательность функций:

${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\ln x-x}$

${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}$

${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\ln x-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}$

и т. д. Тогда имеют место тождества:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]};\quad }$ (${\displaystyle n=1,2,3\dots }$)

${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C;\quad }$ (${\displaystyle n=0,1,2,3\dots }$)