Лемма Гордана

Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами ${\displaystyle (1,0)}$ и ${\displaystyle (1,1)}$. Эти же векторы порождают моноид целых точек в конусе.

Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами ${\displaystyle (1,0)}$ и ${\displaystyle (1,2)}$. Вектор ${\displaystyle (1,1)}$ не выражается, как целочисленная комбинация этих векторов, но конечный набор ${\displaystyle (1,0),(1,1),(1,2)}$ порождает моноид целых точек в конусе.

Пусть дан выпуклый рациональный полиэдральный конус ${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$, порождаемый векторами ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$ как конус. Пусть ${\displaystyle S_{\sigma }}$ — полугруппа целых точек в данном конусе, то есть

${\displaystyle S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},}$

где ${\displaystyle d}$ — размерность пространства, в котором лежит конус ${\displaystyle S_{\sigma }}$. Тогда произвольную точку ${\displaystyle x\in S_{\sigma }}$ можно представить в виде

${\displaystyle x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},}$

где неотрицательные коэффициенты при ${\displaystyle u_{i}}$ разложены в сумму неотрицательного целого ${\displaystyle n_{i}}$ и дробной части ${\displaystyle 0\leqslant r_{i}<1}$. Но так как ${\displaystyle x}$ и первая сумма целочисленны, вторая сумма тоже обязана быть вектором целочисленной решётки. При этом вторая сумма находится в ограниченной области, зависящей только от векторов ${\displaystyle u_{i}}$, но не от вектора ${\displaystyle x}$, поэтому для неё есть лишь конечное число возможностей. Таким образом, ${\displaystyle S_{\sigma }}$ конечно порождена[3].

Доказательство[4] основано на том, что полугруппа ${\displaystyle S}$ конечно порождена тогда и только тогда, когда её полугрупповая алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$ является конечно порождённой алгеброй над ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Докажем сперва вспомогательную лемму о градуированных алгебрах.

Лемма: Пусть ${\displaystyle A}$ — нётерово ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуированное кольцо. Тогда ${\displaystyle A^{+}=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n}}$ — конечно-порождённая алгебра над ${\displaystyle A_{0}}$.

Доказательство леммы: пусть ${\displaystyle I=\bigoplus \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ — идеал в ${\displaystyle A}$, порождённый всеми однородными элементами положительной степени. В силу нётеровости ${\displaystyle A}$ идеал ${\displaystyle I}$ порождён конечным числом однородных элементов положительной степени ${\displaystyle f_{i}}$. Пусть максимальная из степеней элементов ${\displaystyle f_{i}}$ равна ${\displaystyle d}$. Если ${\displaystyle f}$ — однородный элемент положительной степени, которая больше степеней всех ${\displaystyle f_{i}}$, то он представляется в виде ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$. Можно от каждого ${\displaystyle g_{i}}$ рассмотреть только однородную компоненту степени ${\displaystyle \operatorname {deg} f-\operatorname {deg} f_{i}}$, получив равенство ${\textstyle f=\sum _{i}{\overline {g}}_{i}f_{i}}$, где ${\displaystyle {\overline {g}}_{i}}$ — однородные элементы положительной степени, причём эта степень будет строго меньше ${\displaystyle \operatorname {deg} f}$. Таким образом, применив индукцию по степени ${\displaystyle f}$, легко видеть, что ${\displaystyle A^{+}}$ порождается ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d}}$ как ${\displaystyle A_{0}}$-алгебра. Осталось показать, что ${\displaystyle \bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d}}$ конечно порождена как ${\displaystyle A_{0}}$-алгебра, для чего достаточно показать, что каждый ${\displaystyle A_{i}}$ — конечно-порождённый ${\displaystyle A_{0}}$-модуль. Действительно, пусть дана возрастающая цепочка вложенных конечно-порождённых подмодулей ${\displaystyle N_{j}}$ в ${\displaystyle A_{i}}$, объединение которой равно всему ${\displaystyle A_{i}}$. Можно рассмотреть цепочку идеалов ${\displaystyle N_{j}A}$. По нётеровости ${\displaystyle A}$ она стабилизируется на некотором шаге, значит стабилизируется и ${\displaystyle N_{j}=N_{j}A\cap A_{i}}$[4].

Теперь докажем, что для любого подмоноида ${\displaystyle S\subset \mathbb {Z} ^{d}}$ выполнено следующее утверждение:

Если ${\displaystyle S}$ конечно порождён (как моноид), то и для произвольного целочисленного вектора ${\displaystyle v}$, лежащего в двойственной решётке к решётке, в которой лежит моноид, подмоноид ${\displaystyle S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geqslant 0\}}$ также конечно порождён.

Действительно, рассмотрим алгебру ${\displaystyle A=\mathbb {C} [S]}$, пусть её базис есть ${\displaystyle \chi ^{a},\,a\in S}$. На ней можно ввести ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-градуировку:

${\displaystyle A_{n}=\operatorname {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\}}$.

По предположению ${\displaystyle A}$ конечно порождена, а значит нётерова. Тогда из доказанной леммы следует, что ${\displaystyle \mathbb {C} [S^{+}]=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n}}$ — конечно порождённая алгебра над ${\displaystyle A_{0}}$. Полугруппа ${\displaystyle S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\}}$ лежит в подпространстве меньшей размерности, поэтому можно считать при помощи индукции по размерности, что она тоже конечно порождена, а значит и алгебра ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]}$ конечно порождена. Таким образом, ${\displaystyle S^{+}}$ конечно порождён[4].

Наконец, из доказанного утверждения следует лемма Гордана. Действительно, можно рассмотреть в качестве ${\displaystyle S}$ всю целочисленную решётку и применять лемму к каждой гиперплоскости, задающей грань максимальной размерности полиэдрального конуса, пока не останется моноид целочисленных точек внутри конуса[4].

В стандартном определении аффинного торического многообразия по решётке ${\displaystyle M}$ и выпуклому рациональному полиэдральному конусу ${\displaystyle \sigma ^{\vee }}$ в пространстве, соответствующем решётке, строится полугруппа ${\displaystyle \sigma ^{\vee }\cap M}$, по ней алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [\sigma ^{\vee }\cap M]}$ и рассматривается её спектр. Из леммы Гордана следует корректность этого определения: полученная алгебра конечно порождена, то есть действительно задаёт аффинное многообразие как свой спектр[5].

Мультигиперграф с множеством вершин ${\displaystyle V}$ — это мультимножество подмножеств ${\displaystyle V}$. Мультигиперграф называется регулярным, если у всех вершин одинаковая степень. Мультигиперграф ${\displaystyle (V,E)}$ называется разложимым, если у него можно выбрать собственное непустое подмультимножество рёбер ${\displaystyle F\subset E}$ так, что мультигиперграф ${\displaystyle (V,F)}$ тоже регулярен для некоторой степени ${\displaystyle k<n}$. Для натурального ${\displaystyle n}$ обозначим через ${\displaystyle D(n)}$ максимальную степень неразложимого мультигиперграфа на ${\displaystyle n}$ вершинах. Из леммы Гордана следует, что ${\displaystyle D(n)}$ конечно[2].

Доказательство: для каждого подмножества вершин ${\displaystyle S}$ определим переменную ${\displaystyle x_{S}}$ (принимающую неотрицательные целые значения). Добавим также ещё одну переменную ${\displaystyle d}$ (тоже принимающую неотрицательные целые значения). Рассмотрим набор из ${\displaystyle n}$ уравнений (по одному уравнению на каждую вершину):

${\displaystyle \forall v\in V\colon \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0}$

Каждое решение ${\displaystyle (\mathbf {x} ,d)}$ задаёт регулярный мультигиперграф с множеством вершин ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ задаёт кратности соответствующих гиперрёбер, а ${\displaystyle d}$ задаёт степень вершин. По лемме Гордана множество решений порождается конечным набором решений, то есть существует конечный набор ${\displaystyle M}$ мультигиперграфов таких, что каждый регулярный мультигиперграф — это линейная комбинация некоторых элементов ${\displaystyle M}$. Все неразложимые мультигиперграфы должны лежать в ${\displaystyle M}$, то есть их множество конечно[2].