Лемма Витали о покрытиях

Пусть ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве R^d (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество ${\displaystyle B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}}$ из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_{m}},}$

где ${\displaystyle 3B_{j_{k}}}$ обозначает шар с тем же центром, что и у ${\displaystyle B_{j_{k}}}$, но с утроенным радиусом.

Пусть ${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J\}}$ — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в R^d (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

${\displaystyle \sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j})\mid j\in J\}<\infty ,}$

где ${\displaystyle \mathrm {rad} (B_{j})}$ обозначает радиус шара B_j. Тогда для любого ${\displaystyle k>3}$ существует счётное подмножество

${\displaystyle \{B_{j}\mid j\in J'_{k}\},\quad J'_{k}\subset J,}$

попарно непересекающихся шаров, таких что

${\displaystyle \bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'_{k}}k\,B_{j}.}$

• В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
• В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.