Лемма Цорна
Лемма Цорна (иногда лемма Куратовского — Цорна) — одно из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора, наряду с теоремой Цермело (принципом вполнеупорядочивания) и принципом максимума Хаусдорфа (который, по сути, является альтернативной формулировкой леммы Цорна).
Носит имя немецкого математика Макса Цорна, часто упоминается также под именем польского математика Казимира Куратовского, сформулировавшего близкое утверждение раньше.
Формулировка: частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент. Существует ряд эквивалентных альтернативных формулировок.
История
Аналогичные и равносильные лемме Цорна утверждения предлагались математиками намного ранее Цорна. Так, в 1904 году Эрнст Цермело доказал теорему, согласно которой каждое множество может быть вполне упорядочено. Для доказательства он привлек «неоспоримый логический принцип», который назвал аксиомой выбора. Принцип максимума Хаусдорфа, сформулированный и доказанный им в 1914 году, является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна.
В 1922 году Куратовский доказал лемму в формулировке, близкой к современной (для семейства множеств, упорядоченных по включению и замкнутых относительно объединения вполне упорядоченных цепей). Практически то же утверждение (в более слабой формулировке — не для вполне упорядоченных цепей, а для произвольных) независимо от него было сформулировано Цорном в 1935 году в статье «Об одном методе из трансфинитной алгебры». Сам Цорн называл его «принципом максимума», предлагал включить его в состав аксиом теории множеств и использовать для доказательства различных теорем теории полей вместо принципа вполнеупорядочивания Цермело.
Название «лемма Цорна» впервые ввёл Джон Тьюки в 1940 году.
Формулировки
Существует несколько альтернативных формулировок леммы Цорна.
Основная: если в частично упорядоченном множестве для всякого линейного упорядоченного подмножества существует верхняя грань, то в существует максимальный элемент.
В приложениях наиболее удобна формулировка, утверждающая существование максимального элемента, который не меньше заданного: если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет верхнюю грань, то всякий элемент из предшествует некоторому максимальному.
В оригинальной статье 1935 года Цорн сформулировал утверждение для множеств, частично упорядоченных по отношению включения: если семейство множеств обладает тем свойством, что объединение любой цепи множеств из есть снова множество из этого семейства, то содержит максимальное множество.
Применения
Во многих задачах лемма Цорна является наиболее удобной из всех формулировок, эквивалентных аксиоме выбора, в частности, используется в доказательстве следующих теорем:
- теорема Хана — Банаха о продолжении линейного функционала;
- теорема о существовании базиса Га́меля в произвольном линейном пространстве;
- теорема Тихонова;
- теорема о существовании алгебраического замыкания произвольного поля;
- теорема о существовании максимального идеала в кольце с единицей.
Литература
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. — 368 с.
- Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — гл. IV, V, 616 с.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 400 с.
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — 4-е изд. — М.: УРСС, 2007. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.