Кривая доходности

Кривая (бескупонной) доходности (англ. (zero-coupon) yield curve) или срочная структура процентных ставок (англ. term structure of interest rates) — зависимость (кривая зависимости) доходности однородных финансовых инструментов от их сроков, при условии, что промежуточные платежи отсутствуют. Кривую доходности можно построить для конкретной организации. Одной из базовых кривых доходности является кривая по государственным ценным бумагам (G-кривая, G-Curve) различной срочности (в России — по ОФЗ). Ее условно можно считать кривой безрисковой доходности для данной страны. Тем не менее, в силу государственной политики по стимулированию вложений в государственные облигации, G-кривая не совсем верно может отражать безрисковую кривую, поэтому для построения последней используют рыночные доходности других различных финансовых инструментов - процентные свопы, ставки денежного рынка (mosprime, libor), овернайт-ставки (RUONIA).

Характеризует состояние долгового рынка, экономики в целом и используется при оценке процентного риска и принятии решений участниками рынка долговых ценных бумаг. Кривая безрисковой доходности фактически определяет также и форвардные кривые доходности (ожидаемую динамику ставок). С помощью безрисковой кривой доходности можно определить справедливую стоимость различных финансовых инструментов.

Форма кривой доходности указывает на то, как все заимодавцы отдают приоритет конкретному заемщику (например, Казначейству США или Казначейству Японии), либо на то, как отдельный заимодавец отдает приоритет всем возможным заемщикам. При прочих равных условиях заимодавцы предпочитают держать свои средства в своем распоряжении, чем отдавать их в распоряжение третьей стороне. Процентная ставка - это «цена» убеждения заимодавцев предоставить средства. С увеличением срока кредита заимодавцы требуют увеличения процентной ставки, поскольку заимодавцы могут быть обеспокоены будущими обстоятельствами ввиду, например, возможной неплатежеспособности или ростом уровня инфляции, чем и объясняется более высокие процентные ставки по долгосрочным кредитам в отличие от краткосрочных для компенсации повышенного риска. В отдельных случаях, когда кредиторы находятся в агрессивном поиске долгосрочных долговых контрактов, чем краткосрочных, кривая доходности «инвертируется», когда процентные ставки (доходность) становятся ниже для более длительных периодов погашения, поскольку заемщикам легче привлечь долгосрочные кредитование.

Основные понятия

Для дисконтной облигации срок до погашения ( $T=T(t)$ , $t$ — момент времени, от которой отсчитывается срок до даты погашения) совпадает с её дюрацией. Обозначим цену облигации в каждый момент времени через $p(t,T)$ . Примем номинал за единицу, соответственно цена — в процентах от номинала. Её доходность к погашению $r(t,T)$ определяет средний темп роста цены облигации до номинала. То есть динамику цены дисконтной облигации можно описать следующей формулой

$p(t',T(t'))=p(t,T)e^{(t'-t)r(t,T)}$

Учитывая, что в момент $t'-t=T$ цена должна быть равна 1 (номинал), получим выражение для доходности к погашению в непрерывном исчислении:

$r(t,T)=-{\frac {\ln p(t,T)}{T}}$

Величина $r(t,T)$ , рассматриваемая как функция от срока до погашения $T$ и представляет собой срочную (временную) структуру процентных ставок, а графическое отображение — кривой доходности.

Краткосрочной процентной ставкой (или спот-ставкой, мгновенной ставкой) называется предел ставки $r(t,T)$ при стремлении срока погашения T к нулю. Фактически спот-ставка — это производная логарифма цены дисконтной облигации по сроку в нулевой точке по сроку.

$r(t)=\left.{\frac {\partial \ln P(t,T)}{\partial T}}\right\vert _{T=0}$

Форвардной ставкой называется непрерывная доходность $f(t,t_{F},\tau )$ к погашению в будущий момент времени $t_{F}$ на срок $\tau$ , определяемой на основе информации, имеющейся в момент t. При стремлении a $\tau$ к нулю имеем мгновенную форвардную ставку $f(t,t_{F})$

Кривая доходности связана с форвардными ставками следующим соотношением:

$r(t,T)={\frac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}f(t,t_{F})dt_{F}$

Форма и теории кривой доходности

Единого вида кривой доходности, описывающей стоимость денег для каждого, не существует. Вид кривой зависит от кредитоспособности заёмщика. Наиболее важным фактором в определении кривой доходности является валюта, в которой ценные бумаги номинированы. Экономическое положение стран и компаний, использующих каждую из валют, является основным фактором, определяющим кривую доходности. Различные учреждения берут деньги в долг под разный процент в зависимости от их кредитоспособности. Кривые доходности, соответствующие облигациям правительств в их собственной валюте, называются кривыми доходности государственных облигаций (government bond yield curve, government curve). Банки с высокими кредитными рейтингами, (Аа / AA или выше) имеют возможность занимать друг у друга деньги по ставкам LIBOR. Эти кривые доходности, как правило, немного выше, чем государственные. Они являются наиболее важными и широко используются на финансовых рынках, они известны как LIBOR curves или swap curves.

Помимо кривых государственных облигаций и LIBOR кривых существуют корпоративные кривые (corporate or company curves). Они строятся из доходности облигаций, выпущенных корпорациями. Вследствие того, что корпорации имеют меньшую по сравнению с государствами и крупными банками кредитоспособность, корпоративные кривые выше банковских и государственных. Например, на корпоративной кривой Vodafone точка пятилетней доходности vможет быть определена как LIBOR + 0,25 % (часто пишется как 25 базисных пунктов или 25bps), где 0,25 % носит название «кредитный спред».

В обычной ситуации кривая доходности представляет собой монотонно возрастающую выпуклую вверх кривую. Это означает, во-первых, что с увеличением срока доходность растет (положительный наклон), во-вторых, скорость изменения доходности с увеличением срока — снижается (стремится к нулю). Это нормальная форма кривой. Однако форма кривой доходности может претерпевать существенные изменения в кризисных ситуациях. Например, при системном кризисе ликвидности в первую очередь существенно повышаются краткосрочные доходности, при меньшем повышении долгосрочной доходности. Тем самым формируется кривая доходности, в которой до определённого короткого срока доходность резко растет, достигает максимума и после этого срока доходность падает с увеличением срока (отрицательный наклон). Это так называемая «горбатая» форма кривой. В крайнем случае короткая часть кривой (возрастающая ставка) может отсутствовать вообще, то есть на любой даже очень короткий срок существует довольно высокая ставка и с увеличением срока ставка падает (форма кривой может стать вогнутой — выпуклой вниз). Это так называемая инверсная (перевернутая) форма кривой. Отрицательный наклон встречается обычно при высоких уровнях ставок (выше долгосрочных средних), а нормальная форма — при относительно низких ставках. В некоторых случаях кривая доходности может приобретать форму, близкую к прямой линии с положительным наклоном.

Ещё одна особенность — чаще всего движение процентных ставок для различных сроков является однонаправленным, то есть если повышаются ставки- то все (возможно в разной степени), если понижаются, то тоже все.

Имеются несколько теорий (гипотез), объясняющих эти особенности кривой доходности.

Гипотеза ожиданий

Форма кривой обусловливается ожиданиями участников рынка относительно будущих ставок, то есть долгосрочные ставки определяются ожиданиями будущих краткосрочных ставок. Данные предположения появились в работах Бём-Баверка и Фишера в конце 19 века, а также в работе Фишера 1930 года. В рамках гипотезы чистых ожиданий (или чистой гипотезы ожиданий) предполагается, что форвардная ставка является несмещённой оценкой будущей спот-ставки, то есть форвардная премия равна нулю и спот-ставка на некоторый срок равна среднему арифметическому мгновенных форвардных ставок до этого срока (в пересчете на обычные ставки необходимо исходить из среднего геометрического).

Гипотеза ожиданий объясняет общую однонаправленность движений процентных ставок для различных сроков. На основе этой гипотезы также несложно объяснить инверсию кривой доходности. Когда краткосрочные ставки находятся ниже долгосрочной средней, то участники рынка ожидают их повышения в будущем, а когда находятся выше долгосрочной средней, то ожидания участников рынка состоят в том, что в будущем они снизятся. Соответственно долгосрочные ставки, как средние от ожидаемых краткосрочных ставок будут выше или ниже средних краткосрочных ставок. Кроме того, данная гипотеза объясняет также и существенно более высокую волатильность краткосрочных ставок по сравнению с долгосрочными (волатильность средней, как известно уменьшается с увеличением количества слагаемых).

Тем не менее, гипотеза ожиданий не может объяснить преимущественно положительный наклон кривой доходности (тогда приходится считать, что ставки преимущественно находятся ниже долгосрочной средней).

Начиная 1970 года появилась критика чистой гипотезы ожиданий в связи с некоторым несоответствием со стохастическими моделями динамики ставок. В частности, не могло быть выполнено условие неравенства Йенсена. Гипотеза чистых ожиданий была модифицирована допущением ненулевой, но тем не менее постоянной во времени и одинаковой для всех сроков форвардной премии.

Теория предпочтения ликвидности

В 30-40-х годах XX века экономисты уже высказывали предположения о том, что форвардные ставки должны содержать положительную премию за риск или премию за срок. В рамках данной теории предполагается, что процентные ставки определяются не только ожиданиями участников рынка, но общим предпочтением ликвидности — участники рынка при прочих равных условиях предпочитают краткосрочные вложения средств и требуют дополнительной доходности (премии) за долгосрочное «замораживание» средств. Это премия за ценовые и прочие риски связанные с большим периодом вложений.

Таким образом, в рамках данной гипотезы форвардная премия не просто положительно, но и прямо зависит от срока, оставаясь тем не менее постоянной во времени. В таком случае отрицательный наклон кривой может быть только в случае, если рост краткосрочных ставок настолько большой, что перекрывает форвардную премию.

В дальнейшее развитие шло в направлении допущения изменения функции форвардной премии со временем в зависимости от тех или иных экзогенных факторов.

Теории сегментации рынка и «предпочитаемой среды»

Данная теория исходит из того, что рынок краткосрочных облигаций и рынок долгосрочных облигаций — это принципиально разные рынки, на которые идут разные участники рынка с заранее определёнными целями. Поэтому доходности соответствующих облигаций формируются независимо друг от друга. В общем случае предполагается, что существуют некоторые сегменты рынка по различным срокам облигаций, которые не могут быть субститутами при инвестировании средств. Спрос на облигации с разными сроками предъявляется различными группами инвесторов с разными целями. Впервые данная идея была высказана Кулбертсоном в 1957 году. Тем не менее данная гипотеза сама по себе неспособна объяснить однонаправленность движения ставок, а также тот факт, что инверсная кривая обычно имеет место при относительно высоких ставках, а нормальная — при низких ставках.

Цены финансовых инструментов и кривая доходности

Если по финансовому активу предполагаются фиксированные денежные потоки $CF_{t_{i}},i=1..n$ , то стоимость этого актива равна

V=\sum _{i=1}^{n}CF_{t_{i}}e^{-r_{t_{i}}t_{i}}=\sum _{i=1}^{n}CF_{t_{i}}DF_{t_{i}}

где $r_{t_{i}}$ - значения (непрерывных) ставок дисконтирования по кривой доходности, $DF_{t_{i}}=e^{-r_{t_{i}}t_{i}}$ - соответствующие дисконт-факторы (соответствующая кривая называется дисконтной кривой или кривой дисконт-факторов)

Если по активу с фиксированными денежными потоками отсутствуют другие риски (в первую очередь кредитный риск), о для оценки актива используется безрисковая кривая доходности. Безрисковая кривая доходности используется также для оценки финансовых активов по аналогичной формуле, если вместо денежных потоков поставить их условные математические ожидания (условные по информации, имеющейся на момент оценки). Такая оценка называется риск-нейтральной оценкой.

Методы построения кривой доходности

Неопределенность кривой доходности

С учетом формулы оценки финансовых активов по кривой доходности при наличии n активов с рыночной ценой можно записать систему уравнений для дисконт-факторов (а значит и для кривой доходности)

\sum _{j=1}^{m}CF_{t_{ij}}DF_{t_{i}}=P_{i},i=1..n

однако, такая система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как количество "моментов времени" m денежных потоков обычно намного больше количества инструментов n. Поэтому для оценки кривой доходности используют различные методы интерполяции

Параметрические модели кривой доходности

Модель Нельсона-Сигеля

Модель кривой доходности Нельсона-Сигеля основана на следующей модели форвардной ставки:

$R_{NS}^{forward}=\beta _{0}+(\beta _{1}+\beta _{2}{\frac {t}{\tau }})e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

где $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\tau$ — параметры, которые должны быть оценены. Соответствующая непрерывно-начисляемая ставка равна

$r_{NS}=\beta _{0}+(\beta _{1}+\beta _{2}){\frac {1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}}{\frac {t}{\tau }}}-\beta _{2}e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

Модифицированная модель Нельсона-Сигеля

С целью более точной оценки кривой на коротких сроках (менее 3 лет) применяют следующую поправку к модели Нельсона-Сигеля:

$r_{NS}^{*}=r_{NS}+g_{1}e^{-t^{2}/2}+g_{2}e^{-(t-1)^{2}/2}+g_{3}e^{-(t-2)^{2}/2}$

Величина поправки обычно мала, тем не менее она позволяет построить более точную кривую доходности

Модель Свенсона

Модель Свенсона является 6-и параметрической. Форвардная ставка отличается от модели Нельсона-Сигеля дополнительным слагаемым, который содержит два дополнительных параметра:

$R_{SV}^{forward}=\beta _{0}+(\beta _{1}+\beta _{2}{\frac {t}{\tau _{1}}})e^{-{\frac {t}{\tau _{1}}}}+\beta _{3}{\frac {t}{\tau _{2}}}e^{-{\frac {t}{\tau _{2}}}}$

Модели эволюции процентных ставок и кривая доходности

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.