Коэффициент связи резонаторов

Из ранних определений коэффициента связи резонаторов широко известны определения, содержащиеся в монографии Г. Маттея и др [2]. Следует сразу оговориться, что эти определения являются приближенными, так как они сформулированы в предположении, что связь между резонаторами достаточно мала. В монографии [2] коэффициент связи ${\displaystyle k}$ для случая двух одинаковых резонаторов определяется формулой

${\displaystyle k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},}$ (1)

где ${\displaystyle f_{e},}$ ${\displaystyle f_{o}}$ — частоты четных и нечетных связанных колебаний ненагруженной пары резонаторов, а ${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e}}}.}$ Видно, что коэффициент связи, выражаемый формулой (1), является положительной константой, характеризующей взаимодействие резонаторов на резонансной частоте ${\displaystyle f_{0}.}$

В случае, когда паре связанных резонаторов с одинаковыми резонансными частотами можно сопоставить соответствующую эквивалентную схему с инвертором сопротивления (проводимости), нагруженным с обеих сторон на резонансные двухполюсники, коэффициент связи ${\displaystyle k}$ определяется формулой

${\displaystyle k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}$ (2)

для резонаторов последовательного типа и формулой

${\displaystyle k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2}}}}$ (3)

для резонаторов параллельного типа. Здесь ${\displaystyle K_{12},}$ ${\displaystyle J_{12}}$ — параметры инвертора сопротивления и инвертора проводимости, ${\displaystyle x_{1},}$ ${\displaystyle x_{2}}$ — параметры крутизны реактивного сопротивления первого и второго резонатора последовательного типа на резонансной частоте ${\displaystyle f_{0},}$ а ${\displaystyle b_{1},}$ ${\displaystyle b_{2}}$ — параметры крутизны реактивной проводимости первого и второго резонатора параллельного типа.

Когда резонаторами являются колебательные LC-контуры, коэффициент связи, согласно формулам (2) и (3), принимает значение

${\displaystyle k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}$ (4)

для резонаторов с индуктивной связью и значение

${\displaystyle k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}$ (5)

для резонаторов с ёмкостной связью. Здесь ${\displaystyle L_{1},}$ ${\displaystyle C_{1}}$ — индуктивность и ёмкость первого контура, ${\displaystyle L_{2},}$ ${\displaystyle C_{2}}$ — индуктивность и ёмкость второго контура, а ${\displaystyle L_{m},}$ ${\displaystyle C_{m}}$ — межконтурная (взаимная) индуктивность и межконтурная ёмкость. Формулы (4) и (5) давно известны в теории электрических цепей. Они выражают значения коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи колебательных контуров.

Уточнение приближенной формулы (1) было сделано в [3]. Точная формула имеет вид

${\displaystyle k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).}$ (6)

При выводе этого выражения использовались формулы (4) и (5). Формула (6) стала общепризнанной. Она в частности приведена в часто цитируемой монографии Дж-Ш. Хонга [4]. Видно, что коэффициент связи резонаторов ${\displaystyle k}$ имеет отрицательное значение, если ${\displaystyle f_{o}<f_{e}.}$

Согласно определению (6), коэффициент индуктивной связи колебательных контуров ${\displaystyle k_{L}}$ по-прежнему выражается формулой (4). Он имеет положительное значение при ${\displaystyle L_{m}>0}$ и отрицательное значение при ${\displaystyle L_{m}<0.}$

Коэффициент же ёмкостной связи колебательных контуров ${\displaystyle k_{C}}$ всегда отрицателен. Согласно (6), формула (5) для коэффициента ёмкостной связи колебательных контуров приобретает иной вид

${\displaystyle k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}.}$ (7)

Связь между электромагнитными резонаторами может осуществляться как по магнитному, так и по электрическому полю. Связь по магнитному полю характеризуют коэффициентом индуктивной связи ${\displaystyle k_{L},}$ а связь по электрическому полю — коэффициентом ёмкостной связи ${\displaystyle k_{C}.}$ Абсолютные величины ${\displaystyle k_{L}}$ и ${\displaystyle k_{C}}$ обычно монотонно убывают с увеличением расстояния между резонаторами. Скорость убывания одного из них может отличаться от скорости убывания другого. Однако абсолютная величина суммы коэффициентов ${\displaystyle k_{L}}$ и ${\displaystyle k_{C}}$ может не только убывать, но и возрастать на некотором участке с увеличением расстояния [5].

Сложение коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи резонаторов выполняется по формуле [3]

${\displaystyle k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).}$ (8)

Эта формула получается из определения (6) с учётом формул (4) и (7).

Следует заметить, что сам по себе знак коэффициента связи ${\displaystyle k}$ значения не имеет. Свойства резонаторного фильтра не изменятся, если одновременно поменять в нём знаки всех коэффициентов связи. Однако он важен при сопоставлении двух коэффициентов связи и в частности при сложении коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи.

Два связанных резонатора могут взаимодействовать не только на резонансных частотах. Это подтверждается возможностью передачи энергии вынужденных колебаний от одного резонатора к другому. Поэтому взаимодействие резонаторов правильнее характеризовать не множеством констант ${\displaystyle k_{i},}$ отвечающих дискретному спектру резонансных частот ${\displaystyle f_{i},}$ а одной непрерывной функцией частоты вынужденных колебаний ${\displaystyle k(f).}$

Очевидно, что эта функция должна отвечать условию

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.}$ (9)

Кроме того, функция ${\displaystyle k(f)}$ должна обращаться в нуль на тех частотах ${\displaystyle f_{z},}$ на которых отсутствует передача высокочастотной мощности от одного резонатора к другому, то есть должна отвечать и второму условию

${\displaystyle k(f)|_{f=f_{z}}=0.}$ (10)

Нуль передачи мощности в частности возникает в колебательных контурах с комбинированной индуктивно-ёмкостной связью, когда взаимная индуктивность ${\displaystyle L_{m}>0.}$ Его частота ${\displaystyle f_{z}}$ выражается формулой [6]

${\displaystyle f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ).}$ (11)

На основе энергетического подхода в [6] было сформулировано определение функции ${\displaystyle k(f),}$ обобщающей формулу (6) и удовлетворяющей условиям (9) и (10). Эта функция по формуле (8) выражается через частотно-зависимые коэффициенты индуктивной и ёмкостной связи ${\displaystyle k_{L}(f)}$ и ${\displaystyle k_{C}(f),}$ определяемые формулами

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},}$ (12)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+{\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.}$ (13)

Здесь ${\displaystyle W}$ обозначает энергию высокочастотного электромагнитного поля, запасаемую обоими резонаторами. Черта над ${\displaystyle W}$ обозначает постоянную составляющую энергии, а точка — амплитуду колеблющейся составляющей энергии. Индекс ${\displaystyle L}$ обозначает магнитную часть энергии, а индекс ${\displaystyle C}$ — электрическую часть энергии. Индексы 11, 12 и 22 обозначают части запасаемой энергии, пропорциональные соответственно ${\displaystyle |U_{1}|^{2},}$ ${\displaystyle |U_{1}||U_{2}|}$ и ${\displaystyle |U_{2}|^{2},}$ где ${\displaystyle U_{1}}$ — комплексная амплитуда напряжения на порте первого резонатора, а ${\displaystyle U_{2}}$ — комплексная амплитуда напряжения на порте второго резонатора.

Из определений (12) и (13) в частности получаются формулы для частотной зависимости коэффициентов индуктивной и ёмкостной связи произвольных колебательных контуров [6]

${\displaystyle k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},}$ (14)

${\displaystyle k_{C}(f)={\frac {-C_{m}}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m})}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})}}}.}$ (15)

где ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ — резонансные частоты первого и второго контура, возмущенные связями. Видно, что значения функций ${\displaystyle k_{L}(f)}$ и ${\displaystyle k_{C}(f)}$ при ${\displaystyle f=f_{1}=f_{2}}$ совпадают с константами ${\displaystyle k_{L}}$ и ${\displaystyle k_{C},}$ определяемыми формулами (4) и (5). Кроме того, функция ${\displaystyle k(f),}$ рассчитываемая по формулам (8), (14) и (15), обращается в нуль на частоте ${\displaystyle f_{z},}$ выражаемой формулой (11).

Теория микроволновых узкополосных полосно-пропускающих фильтров с чебышёвской частотной характеристикой изложена в монографии [2]. В таких фильтрах резонансные частоты всех резонаторов настроены на центральную частоту заданной полосы пропускания ${\displaystyle f_{0}.}$ Каждый из резонаторов связан не более чем с двумя соседними резонаторами. Каждый из двух крайних резонаторов связан с одним соседним резонатором и с одним из двух портов фильтра. Такую топологию связей резонаторов называют линейной. При линейной топологии связей существует только один канал прохождения микроволновой мощности от входного порта к выходному порту.

Для фильтров с линейной топологии связей в монографии [2] приведен вывод приближенных формул для значений коэффициентов связи соседних резонаторов ${\displaystyle k_{i,i+1},}$ отвечающих заданной амплитудно-частотной характеристике фильтра, где ${\displaystyle i}$ и ${\displaystyle i+1}$ — порядковые номера связанных резонаторов. При выводе формул использовались фильтры-прототипы нижних частот, а также формулы (2) и (3). Амплитудно-частотные характеристики фильтров-прототипов описываются многочленами Чебышёва. Впервые эти формулы были опубликованы в [7]. Они имеют вид

${\displaystyle k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}}},}$ (16)

где ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle (i=0,1,2...n+1)}$ — нормированные параметры фильтра-прототипа нижних частот, ${\displaystyle n}$ — порядок многочлена Чебышёва, равный числу резонаторов в фильтре, ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ — граничные частоты полосы пропускания.

Значения нормированных параметров ${\displaystyle g_{i}}$ для заданной полосы пропускания фильтра рассчитываются по формулам

${\displaystyle g_{0}=1,}$ ${\displaystyle g_{1}=2a_{1}/\gamma ,}$

${\displaystyle g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},}$ ${\displaystyle k=2,3\dots n,}$ (17)

${\displaystyle g_{n+1}=1,}$ если ${\displaystyle n}$ четное,

${\displaystyle g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),}$ если ${\displaystyle n}$ нечетное.

Здесь использованы обозначения

${\displaystyle \beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},}$ ${\displaystyle \gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta }{2n}}),}$ (18)

${\displaystyle a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi }{2n}},}$ ${\displaystyle b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),}$ ${\displaystyle (k=1,2...n),}$

где ${\displaystyle \Delta L}$ — требуемая неравномерность затухания в полосе пропускания, выраженная в децибелах.

Формулы (16) являются приближенными не только потому, что при их выводе использовались приближенные определения коэффициентов (2) и (3). Точные выражения для коэффициентов связи в фильтре-прототипе были получены в [8]. Однако и после уточнения эти формулы остаются приближенными при конструировании реальных фильтров. Их точность зависит от конструкции фильтра и конструкции его резонаторов. Она повышается с уменьшением относительной ширины полосы пропускания.

В [9] было показано, что причина погрешности формул (16) и их уточненного варианта связана с частотной дисперсией коэффициентов связи, которая может сильно различаться для резонаторов и фильтров различных конструкций. Другими словами, оптимальные значения коэффициентов связи ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ на частоте ${\displaystyle f_{0}}$ зависят не только от параметров требуемой полосы пропускания фильтра, но и значений производных ${\displaystyle dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0}}.}$ Это значит, что точные значения коэффициентов ${\displaystyle k_{i,i+1},}$ обеспечивающих требуемую полосы пропускания фильтра, не могут быть заранее известны. Их можно установить лишь после оптимизации фильтра. Поэтому формулы (16) можно использовать только в качестве начальных значений для обобщенных параметров фильтров перед их оптимизацией.

Приближенные формулы (16) также позволяют установить ряд общих закономерностей, присущих любым фильтрам с линейной топологией связей. Например, увеличение текущей ширины полосы пропускания фильтра требует приблизительно пропорционального увеличения всех коэффициентов связи ${\displaystyle k_{i,i+1}.}$ Коэффициенты ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ симметричны относительно центрального резонатора или центральной пары резонаторов даже в фильтрах с неравными волновыми сопротивлениями линий передачи на входном и выходном порте. Величина коэффициентов ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ монотонно убывает при переходе от крайних пар резонаторов к центральной паре.

Реальные конструкции фильтров с линейной топологией связи в отличие от их фильтров-прототипов могут иметь нули прохождения в полосах заграждения [10]. Нули прохождения существенно улучшают селективные свойства фильтров. Одной из причин возникновения нулей является частотная дисперсия коэффициентов связи ${\displaystyle k_{i,i+1}}$ для одной или нескольких пар резонаторов фильтра, выражающаяся в их обращении в нуль на частоте нуля прохождения мощности [11].

Для формирования нулей прохождения в полосах заграждения фильтров с целью повышения их селективных свойств, в фильтрах помимо ближайших связей часто создают дополнительные связи между резонаторами, которые называют перекрестными. Такие связи приводят к образованию нескольких каналов прохождения электромагнитной волны от входного порта фильтра к выходному порту. Амплитуды волн, прошедшие по разным каналам фильтра, при суммировании на выходе могут полностью погашаться на отдельных частотах, приводя к образованию нулей прохождения.

Для описания связей резонаторов в таких фильтрах используют матрицу связей ${\displaystyle \mathbf {M} }$ размерности ${\displaystyle n\times n}$ [12, 4]. Она симметрична. Её каждый недиагональный элемент ${\displaystyle M_{ij}}$ является коэффициентом связи i-го и j-го резонаторов ${\displaystyle k_{ij}.}$ Каждый диагональный элемент ${\displaystyle M_{ii}}$ является реактансом (иммитансом) i-го резонатора на центральной частоте ${\displaystyle f_{0}}$. В настроенном фильтре все элементы ${\displaystyle M_{ii}}$ равны нулю, так реактансы на резонансных частотах обращаются в нуль.

Достоинством матриц ${\displaystyle \mathbf {M} }$ является то, что они позволяют непосредственно рассчитать частотную характеристику для эквивалентной схемы фильтра, содержащей индуктивно связанные колебательные контуры [12, 4]. Поэтому их удобно использовать при проектировании фильтров с перекрестными связями. В частности матрицы ${\displaystyle \mathbf {M} }$ часто используют при оптимизации фильтров в качестве их грубой модели. Использование грубой модели позволяет многократно ускорить оптимизацию фильтра за счет того, расчет частотной характеристики грубой модели практически не требует затрат машинного времени по сравнению с расчетом характеристики реального фильтра.