Координатное представление (квантовая механика)

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle (-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r))\psi =i{\hbar }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$

- зависящее от времени, и

${\displaystyle (-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r))\psi =E\psi }$

не зависящее от времени (везде r - радиус-вектор точки, где берётся волновая функция).

${\displaystyle r}$-координата;

${\displaystyle -i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial r}}}$-импульс;

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)}$-гамильтониан.

Чтобы перейти в импульсное представление, нужно либо

1) Решить задачу в координатном и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

${\displaystyle \psi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (x)e^{-ipx/\hbar }dx}$

P.S. Переход обратно к координатному представлению можно записать, как ${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (p)e^{ipx/\hbar }dp}$

Легко видеть, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трёхмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}}$

2) Сменить гамильтониан на ${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial p}})}$ и решать задачу с ним.

• Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.