Квантовый граф

Метрический граф с тремя открытыми рёбрами, реализованный на плоскости. Пунктирные линии обозначают метрическое расстояние между двумя точками ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.

Метрический граф — граф, состоящий из множества вершин ${\displaystyle V}$ и множества рёбер ${\displaystyle E}$, где каждому ребру ${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$ поставлен в соответствие интервал ${\displaystyle [0,L_{e}]}$ так, что ${\displaystyle x_{e}}$ — координата на этом интервале, вершины ${\displaystyle v_{1}}$ и ${\displaystyle v_{2}}$ соответствуют ${\displaystyle x_{e}=0}$ и ${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$, или наоборот. Выбор того, какая вершина соответствует нулевой координате, произволен, и переназначение вершин начала и конца ребра требует только замены координат ребра. Граф обладает естественной метрикой: для двух точек ${\displaystyle x,y}$ на графе, расстояние ${\displaystyle \rho (x,y)}$ — длина кратчайшего пути между ними, где длина пути измеряется как сумма длин ребёр пути.

Если в комбинаторном (классическом) графе ребро всегда соединяет пару вершин, то в квантовом графе допускаются полубесконечные ребра (лучи), таким рёбрам ставится в соответствие интервал ${\displaystyle [0,\infty )}$, где единственная вершина соответствует ${\displaystyle x_{e}=0}$. Граф, имеющий хотя бы одно такое ребро, называется открытым.

Квантовый граф — метрический граф с заданным дифференциальным (или псевдодифференциальным) оператором, действующим на функциях на рёбрах графа. Функция ${\displaystyle f}$ на метрическом графе определяется как ${\displaystyle |E|}$-кортеж функций ${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$ на интервалах на рёбрах. Гильбертово пространство графа — ${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$, где внутреннее произведение двух функций задано как

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}{\overline {f_{e}(x_{e})}}g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$ может быть бесконечным в случае открытых рёбер. Простейший пример оператора на метрическом графе — оператор Лапласа. Оператор на ребре — это ${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$, где ${\displaystyle x_{e}}$ — координата ребра. Для обеспечения самосопряжённости оператора необходимо подобрать подходящую область значений, обычно для этого выбирается пространство Соболева ${\displaystyle H^{2}}$ функций на рёбрах графа и соответствующие граничные условия на вершинах.

Простейший пример условий, обеспечивающих самосопряженность — граничные условия Дирихле ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$ для каждого ребра. Собственные функции на конечных рёбрах могут быть записаны как:

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

для целого ${\displaystyle n}$. Если в графе нет открытых рёбер и длины рёбер несоизмеримы над рациональными числами, тогда носитель собственной функции лежит на одном ребре графа, и собственные значения равны ${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{e}^{2}}}}$. Условия Дирихле не позволяют учитывать взаимодействие между интервалами на ребрах, так что спектр такой же, что и на множестве независимых (несоединённых) рёбер.

Более интересными самосопряжёнными граничными условиями, позволяющими учитывать взаимодействие между рёбрами, являются граничные условия Неймана или естественные граничные условия. Функция ${\displaystyle f}$ в области определения оператора непрерывна всюду на графе и сумма исходящих производных в каждой вершине равна нулю:

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0}$,

где ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$, если вершина ${\displaystyle v}$ соответствует ${\displaystyle x=0}$, и ${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$, если ${\displaystyle v}$ соответствует ${\displaystyle x=L_{e}}$.

Также изучены свойства других операторов на метрических графах, например, более общий класс операторов Шрёдингера:

${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})}$,

где ${\displaystyle A_{e}}$ — «магнитный векторный потенциал» на ребре, ${\displaystyle V_{e}}$ — скалярный потенциал.

Другим примером является оператор Дирака на графе, который является матричным оператором, действующим на вектор-функциях, описывающих квантовую механику частиц с собственным моментом импульса равным ${\displaystyle 1/2}$ (например, электрон). Оператор Дирихле — фон Неймана на графе — псевдодифференциальный оператор, который возникает при изучении фотонных кристаллов.

Все самосопряженные граничные условия оператора Лапласа на графе можно классифицировать по схеме Кострикина и Шрадера. На практике, часто удобнее использовать предложенный Кучментом в 2004 году формализм[3], который позволяет сразу получить оператор в вариационной форме.

Пусть ${\displaystyle v}$ это вершина с ${\displaystyle d}$ выходящими рёбрами. Для удобства выберем координаты на рёбрах так, чтобы ${\displaystyle v}$ соответствовала ${\displaystyle x_{e}=0}$ для каждого ребра инцидентного ${\displaystyle v}$. Для функции ${\displaystyle f}$ на графе:

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}}$,

граничные условия на ${\displaystyle v}$ могут быть заданы парой матриц ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ с помощью матричного уравнения:

${\displaystyle A\mathbf {f} +B\mathbf {f} '=\mathbf {0} }$.

Граничные условия задают самосопряжённый оператор, если ${\displaystyle (A,B)}$ имеет максимальный ранг ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}}$.

Спектр оператора Лапласа на конечном графе может быть описан с помощью матрицы рассеивания[4][5].

Собственные значения на ребре заданы:

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

Решение на ребре может быть представлено линейной комбинацией плоских волн.

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}}$,

где в нестационарном уравнении Шрёдингера ${\displaystyle c}$ — коэффициент выходящей плоской волны в ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle {\hat {c}}}$ — коэффициент входящей плоской волны в ${\displaystyle 0}$. Граничные условия на ${\displaystyle v}$ определяют матрицу рассеивания:

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB)}$

Матрица рассеивания устанавливает отношение между векторами коэффициентов входящих и выходящих плоских волн на ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$. Для самосопряжённых граничных условий матрица ${\displaystyle S}$ унитарна. Элемент ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$ матрицы ${\displaystyle S}$ есть комплексная амплитуда перехода из направленного ребра ${\displaystyle (uv)}$ на ребро ${\displaystyle (vw)}$, которое в общем случае зависит от ${\displaystyle k}$. Однако для большого класса граничных условий матрица ${\displaystyle S}$ независима от ${\displaystyle k}$. Например, с граничными условиями Неймана

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$,

подстановка ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в уравнение (1) для ${\displaystyle S}$ даёт независимые от ${\displaystyle k}$ уравнения для амплитуд переходов

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

где ${\displaystyle \delta _{uw}}$ — дельта функция Кронекера. По уравнениям для амплитуд переходов можно задать ${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$ матрицу

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

Матрицу ${\displaystyle U}$ называют матрицой рассеяния на рёбрах и её можно представлять себе как оператор квантовой эволюции на графе. ${\displaystyle U}$ унитарный оператор и действует на векторе ${\displaystyle 2|E|}$ коэффициентов плоских волн для графа, где ${\displaystyle c_{(uv)}}$ — коэффициент плоской волны, переходящей с ${\displaystyle u}$ на ${\displaystyle v}$. При распространении плоской волны от вершины ${\displaystyle u}$ к вершине ${\displaystyle v}$, она получает фазу, равную ${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$.

Условие квантования: Собственная функция на графе может быть определена через её ${\displaystyle 2|E|}$ соответствующих коэффициентов плоских волн. Так как собственная функция стационарна при квантовой эволюции, условие квантования для графа может быть описано используя оператор эволюции

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

Собственные значения ${\displaystyle k_{j}}$ возникают при таких ${\displaystyle k}$, при которых матрица ${\displaystyle U(k)}$ имеет собственное значение равное единице. Упорядочим спектр ${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$.

Первая формула следа для графа была выведена Ротом (1983). В 1997 Коттос и Смилански использовали условие квантования, приведенное выше, чтобы получить следующую формулу следа для оператора Лапласа на графе, когда амплитуды переходов независимы от ${\displaystyle k}$. Формула следа устанавливает связь между спектором и периодическими орбитами графа.

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$ называется плотностью состояний. Правая часть формулы состоит из двух частей: гладкая часть (часть Вейля) ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ — среднее разделяющее собственных значений, и осциллирующая часть — сумма по всем периодическим орбитам ${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ на графе. ${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$ — длина орбиты и ${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$ — полная длина графа. Для орбиты, порождённой повторением более короткой примитивной орбиты, ${\displaystyle r_{p}}$ считает число перераспределений. ${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$ произведение амплитуд переходов в вершинах графа на орбите.

Молекула нафталина

Квантовые графы были впервые использованы Полингом для моделирования спектра свободных электронов в таких органических молекулах как нафталин ещё в 1930-х годах. В первом приближении атомы моделируются вершинами, а ${\displaystyle \sigma }$-электроны — ребрами, которые описывают структуру молекулы, к которой привязаны электроны.

Сходная проблема возникает при изучении квантовых волноводов, являющихся мезоскопическими системами — системами, размеры которых исчисляются в нанометрах. Квантовый волновод может быть представлен как утолщённый граф, в котором рёбра — тонкие трубки. Спектр оператора Лапласа на таком волноводе, при выполнении некоторых условий, сходится к спектру оператора Лапласа на графе. Понимание мезоскопических систем играет важную роль в области нанотехнологий.

В 1997 году[6] было предложено использовать квантовые графы в качестве моделей при изучении квантового хаоса. Классическое движение на графе может быть определено как вероятностная цепь Маркова, где вероятность рассеивания от ребра ${\displaystyle e}$ к ребру ${\displaystyle f}$ равна абсолютной величине квадрата амплитуды квантового перехода ${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$. Для почти всех конечных связных квантовых графов вероятностная динамика эргодична и является перемешивающей, другими словами она хаотична.

Квантовые графы, вложенные в 2- или 3-мерное пространство, возникают при изучении фотонных кристаллов[7]. В двумерном пространстве простая модель фотонного кристалла состоит из многоугольных клеток плотного диэлектрика с узкими переходами между клетками, заполненными воздухом. Изучение основных состояний диэлектриков приводит к псевдодифференциальным операторам на графе, который соответствует узким переходам.

Периодические квантовые графы, такие как, например, решётка в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, используются в качестве моделей для периодических систем^{[уточнить]}. Также квантовые графы были использованы для изучения феномена перехода Андерсона, где локализованные состояния возникают на рёбрах спектральных полос при наличии неупорядоченности.

• Analysis on graphs and its applications: Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, UK, January 8-June 29, 2007. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008. — xiii, 705 pages с. — ISBN 978-0-8218-4471-7, 0-8218-4471-7.
• Jens Bolte and Sebastian Endres Trace formulae for quantum graphs, стр. 247
• J. M. Harrison Quantum graphs with spin Hamiltonians, стр. 261
• J. P. Keating Quantum graphs and quantum chaos, стр. 279
• Peter Kuchment Quantum graphs: an introduction and a brief survey, стр. 291
• Freedman, Michael; Lovász, László; Schrijver, Alexander (2007). “Reflection positivity, rank connectivity, and homomorphism of graphs”. Journal of the American Mathematical Society. 20 (01): 37—52. arXiv:math/0404468. DOI:10.1090/S0894-0347-06-00529-7. ISSN 0894-0347. MR 2257396.