Оператор Шрёдингера

Одномерный оператор Шрёдингера имеет вид:

${\displaystyle H_{1}=-{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+v(z)}$,

где ${\displaystyle z}$ — вектор одномерного пространства. В случае бесконечно растущего потенциала ${\displaystyle v(z)\rightarrow \infty }$ при ${\displaystyle \left|z\right|\rightarrow \infty }$ его спектр является дискретным, однократным. В случае гармонического осциллятора — ${\displaystyle v(z)=z^{2}}$. Собственные значения ${\displaystyle \lambda _{n}=2n+1}$ и собственные функции ${\displaystyle \psi _{n}(z)=e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}H_{n}(z)}$, где ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$, ${\displaystyle H_{n}(z)}$ — полиномы Эрмита.

Для оператора Шрёдингера для системы ${\displaystyle n}$ частиц, определённого на гладких финитных функциях:

${\displaystyle H=-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2m_{j}}}\Delta _{j}+\sum _{i<j}^{n}v_{ij}(x_{i}-x_{j})+\sum _{j=1}^{n}v_{j}(x_{i})}$,

достаточными условиями существенной самосопряжённости являются условия:

${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{ij}^{2}(x)<\infty }$,

${\displaystyle \int _{\left|x\right|\leqslant R}v_{j}^{2}(x)<\infty }$,

и при ${\displaystyle \left|x\right|\geqslant R}$ условия:

${\displaystyle \left|v_{ij}(x)\right|\leqslant M}$,

${\displaystyle \left|v_{j}(x)\right|\leqslant M}$.

Область определения замыкания оператора Шрёдингера в этом случае совпадает с областью определения замыкания оператора ${\displaystyle -\sum _{j=1}^{n}\Delta _{j}}$[5].

• Крейн С. Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. — 544 с.
• Цикон Х., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — М.: Мир, 1990. — 408 с. — ISBN 5-03-001422-5.