Задача о картинной галерее

Теорема Хватала о картинной галерее (канадского математика, родившегося в Праге, Вацлава Хватала), даёт верхнюю границу минимального числа охранников. Теорема утверждает, что ${\displaystyle \left\lfloor n/3\right\rfloor }$ охранников всегда достаточно, а иногда и необходимо, чтобы охранять простой многоугольник с ${\displaystyle n}$ вершинами.

Вопрос о количестве вершин/охранников поставил для Хватала в 1973 Виктор Кли[1]. Хватал вскоре после этого доказал теорему[2]. Доказательство Хватала позднее упростил Стив Фиск, используя раскраску в 3 цвета[3] (Фиск был профессором математики в Боудин-колледже[4]).

Раскраска в 3 цвета вершин триангулированного многоугольника. Синюю вершину образуют множество охранников, в количестве, гарантированном теоремой. Однако это множество не оптимально — тот же самый многоугольник могут охранять всего два охранника.

Доказательство Стива Фиска[3] настолько коротко и элегантно, что приведено в книге «Доказательства из Книги».

Доказательство: триангулируем многоугольник (без добавления вершин).

Заметим, что вершины получившегося триангуляционного графа можно раскрасить в три цвета так что каждый треугольник имеет вершины всех трёх цветов. Действительно двойственный граф триангуляции, имеющий по одной вершине для каждого треугольника и по одному ребру для каждой пары смежных треугольников является деревом. Поскольку любой цикл в двойственном графе образовал бы дыру внутри многоугольника, что противоречит условию отсутствия дыр (по условию многоугольник простой). Если в триангуляции существует более одного треугольника, двойственный граф (как и всякое дерево) должен иметь вершину, у которой всего один сосед, что соответствует треугольнику, смежному лишь одному другому треугольнику. Многоугольник с меньшим числом треугольников, полученный путём удаления этого крайнего треугольника, имеет раскраску в три цвета (используем математическую индукцию), так что раскраску легко распространить и на дополнительную вершину удалённого треугольника.

Далее заметим, что вершины одного цвета образуют правильное множество охранников, поскольку каждый треугольник полностью просматривается из вершины с выбранным цветом. Три цвета разбивают n вершины многоугольника на 3 множества и цвет с меньшим числом вершин образует правильное множество максимум ${\displaystyle \lfloor n/3\rfloor }$ охранников.

В версиях задачи охраны галереи, поставленной как задача разрешимости, на входе задаётся как многоугольник, так и число k, результатом же решения задачи должен быть ответ, достаточно ли k охранников для охраны многоугольника. Эта задача и все её стандартные варианты (такие как ограничение размещения охранников в вершинах или на рёбрах многоугольника) являются NP-трудными[5][6][7]. Для аппроксимационных алгоритмов задачи определения минимального числа охранников, Айденбенц, Штамм и Видмейер[8] доказали, что задача APX-трудна, откуда следует, что вряд ли найдётся аппроксимационный алгоритм полиномиального времени с гарантированной эффективностью, лучшей, чем некоторая фиксированная константа. Однако константа гарантированной эффективности не известна. Может быть получена логарифмическая аппроксимация для минимального числа охранников в вершине путём сведения задачи к задаче задаче о покрытии множества[9]. Как показал Вальтр[10], задача о покрытии множеств, полученная из задачи о картинной галереи, имеет ограниченную размерность Вапника — Червоненкиса, что позволяет применение алгоритмов покрытия множеств, основанных на ε-сетях, гарантированная эффективность которых логарифмически зависит от оптимального числа охранников, а не от числа вершин многоугольника[11]. Когда размещение охранников не ограничивается, бесконечное число возможных положений охранников делает задачу ещё более сложной[12].

Однако известны эффективные алгоритмы для поиска максимум ${\displaystyle \left\lfloor n/3\right\rfloor }$ охранников, расположенных в вершинах, что соответствует верхней границе Хватала. Дэвид Авис и Годфрид Туссэн[13] доказали, что размещение охранников можно вычислить в худшем случае за время O(n log n) с помощью алгоритма «разделяй и властвуй». Кушеш и Морэ[14] предложили алгоритм c линейным временем работы, в котором используется короткое доказательство Фиска и алгоритма плоской триангуляции Бернарда Шазелла с линейным временем работы.

Точный алгоритм для охранников в вершинах предложили Коуту, де Резенде, де Соуза. Авторы провели интенсивные вычислительные эксперименты на некоторых классах многоугольников, которые показали, что оптимальные решения могут быть найдены за относительно малое вычислительное время даже для задач с тысячами вершин. Входные данные и оптимальные решения этих задач доступны для скачивания[15].