Задача Буземана — Петти

Пусть ${\displaystyle K_{1}}$ и ${\displaystyle K_{2}}$ — выпуклые тела в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве с общим центром симметрии такие, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)}$

для каждой гиперплоскости ${\displaystyle A}$, проходящей через центр симметрии. Верно ли, что

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\$ ?}

• В размерности 2 задача тривиальна, ответ положительный.
• 1956 Буземан и Петти показали, что ответ будет положительным, если первое тело является шаром.
• 1975 Лармен и Роджерс построили контрпример в размерностях ${\displaystyle \geq 12}$.
• 1986, Кит Болл доказал, что взяв куб как первое тело и подходящий шар как второе, получаем контрпример в размерностях ${\displaystyle \geq 10}$.
• 1988, Лютвак показал что ответ на задачу в данной размерности положителен тогда и только тогда, когда все симметричные выпуклые тела в этой размерности являются телами сечений.
• Джиэннопулос и Бурген независимо построили контрпримеры в размерностях ${\displaystyle \geq 7}$.
• Пэпэдимитракис и Гарднер независимо построили контрпримеры в размерностях 5 и 6.
• 1994 Гарднер дал положительный ответ в размерности ${\displaystyle 3}$.
• 1994 Гаоюн Чжан опубликовал работу (в Annals of Mathematics), в которой в частности утверждал, что в размерности ${\displaystyle 4}$ ответ отрицательный.
• 1997 Александр Колдобский опроверг утверждение Гаоюн Чжана.
• 1999 После изучения, результатов Колдобского, Чжан быстро доказал, что на самом деле в размерности ${\displaystyle 4}$ ответ утвердительный. Эта более поздняя работа была также опубликована в Annals of Mathematics.

• Теорема единственности Минковского утверждает, что если два симметричных выпуклых тела имеют равновеликие сечения любой гиперплоскостью, проходящий через их общий центр, то эти два тела равны.
• Задача Шепарда — аналогичная задача, в которой вместо сечений, рассматриваются проекции на все возможные гиперплоскости.

• Ball, Keith (1988), Some remarks on the geometry of convex sets, Geometric aspects of functional analysis (1986/87), vol. 1317, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 224–231, ISBN 978-3-540-19353-1, DOI 10.1007/BFb0081743
• Busemann, Herbert & Petty, Clinton Myers (1956), Problems on convex bodies, Mathematica Scandinavica Т. 4: 88–94, ISSN 0025-5521, <http://www.mscand.dk/article/download/10457/8478>
• Gardner, Richard J. (1994), A positive answer to the Busemann-Petty problem in three dimensions, Annals of Mathematics. Second Series Т. 140 (2): 435–447, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/2118606
• Gardner, Richard J.; Koldobsky, A. & Schlumprecht, T. (1999), An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies, Annals of Mathematics. Second Series Т. 149 (2): 691–703, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/120978
• Koldobsky, Alexander (1998a), Intersection bodies, positive definite distributions, and the Busemann-Petty problem, American Journal of Mathematics Т. 120 (4): 827–840, ISSN 0002-9327, doi:10.1353/ajm.1998.0030, <http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.4koldobsky.pdf>
• Koldobsky, Alexander (1998b), Intersection bodies in R⁴, Advances in Mathematics Т. 136 (1): 1–14, ISSN 0001-8708, DOI 10.1006/aima.1998.1718
• Koldobsky, Alexander (2005), Fourier analysis in convex geometry, vol. 116, Mathematical Surveys and Monographs, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3787-0, <https://books.google.com/books?id=UU25A67LVe0C>
• Larman, D. G. & Rogers, C. A. (1975), The existence of a centrally symmetric convex body with central sections that are unexpectedly small, Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics Т. 22 (2): 164–175, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300006033
• Lutwak, Erwin (1988), Intersection bodies and dual mixed volumes, Advances in Mathematics Т. 71 (2): 232–261, ISSN 0001-8708, DOI 10.1016/0001-8708(88)90077-1
• Zhang, Gao Yong (1994), Intersection bodies and the Busemann-Petty inequalities in R⁴, Annals of Mathematics. Second Series Т. 140 (2): 331–346, The result in this paper is wrong; see the author's 1999 correction., ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/2118603
• Zhang, Gaoyong (1999), A positive solution to the Busemann-Petty problem in R⁴, Annals of Mathematics. Second Series Т. 149 (2): 535–543, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/120974