Задача Шепарда
Задача Шепарда — вопрос выпуклой геометрии о сравнении объёмов двух симметричных выпуклых тел при условии, что в любом направлении площадь проекции первого не превосходит площади проекции второго.
Вопрос был сформулирован Джеффри Шепардoм в 1964 году.
Ответ на этот вопрос — «да» в размерности 2 и «нет» в размерности 3 и выше. Последнее было доказано независимо Петти и Шнайдером в 1967 году.
Формулировка
Пусть и — два центрально-симметричных выпуклых тела в -мерном евклидовом пространстве. Предположим, площадь ортогональной проекции на произвольную гиперплоскость не превышает площади ортогональной проекции на . Верно ли, что объём не превышает объёма ?
См. также
Ссылки
- Petty, C.M. Projection bodies (неопр.) // Proc. Colloquium on Convexity (Copenhagen, 1965). — Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhagen, 1967. — С. 234—241.
- Schneider, Rolf. Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper (нем.) // Math. Z.. — 1967. — Т. 101. — С. 71—82. — doi:10.1007/BF01135693.
- Shephard, G. C. (1964), Shadow systems of convex sets, Israel Journal of Mathematics Т. 2: 229–236, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF02759738
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.