Длина окружности

Длина окружности (от латинского circumferens) — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра[1][2]. Периметр — общая длина границы фигуры.

Длина окружности C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference =

\pi

× D = 2 ×

\pi

× R.

Круг

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников[3]. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.

Если диаметр окружности равен 1, её длина равна

\pi

.

Если радиус окружности равен 1, её длина равна

2\pi

.

Длина окружности и число пи

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи ( $\pi$ ). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...[4] Пи определяется как отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$ :

\pi ={\frac {C}{d}}

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее радиусам. Формула выше принимает вид:

{C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!

Использование константы $\pi$ является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга», написанной около 250 до н.э., Архимед показал, что это отношение ( $C/d$ , поскольку он не использовал обозначение $\pi$ ) больше 31071, но меньше 317, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами[5]. Этот метод аппроксимации числа $\pi$ использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристоф Гринбергер, использовавшим многоугольники с 10⁴⁰ сторонами.

Эллипс

Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,

приблизительно равен

C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}

Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при $a\geq b$ [6].

2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,

\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),

4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.

Здесь верхняя граница $2\pi a$ — длина описанной концентричной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.

Периметр эллипса может быть описан с помощью полного эллиптического интеграла второго рода[7]. Более точно:

C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,

где $a$ — длина большой полуоси и $e$ — эксцентриситет ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

См. также

Примечания

Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, с. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (неопр.) (недоступная ссылка). Addison-Wesley (2004). Дата обращения: 6 марта 2020. Архивировано 6 октября 2014 года.
Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0
Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation.
Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, с. 109, ISBN 978-0-321-01618-8, <https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109>
Jameson, G.J.O. Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) (англ.) // Mathematical Gazette : journal. — 2014. — Vol. 98, no. 499. — P. 227—234. — doi:10.2307/3621497. — .
Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.), American Mathematical Monthly Т. 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, <https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52>

Литература

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.

Ссылки

Numericana - Circumference of an ellipse

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Bennett, Jeffrey & Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.) (3rd ed.), Addison-Wesley, с. 580, ISBN 978-0-321-22773-7

[2] San Diego State University. Perimeter, Area and Circumference (неопр.) (недоступная ссылка). Addison-Wesley (2004). Дата обращения: 6 марта 2020. Архивировано 6 октября 2014 года.

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry (англ.), W. H. Freeman and Co., с. 565, ISBN 0-7167-0456-0

[4] Sloane, N. J. A. Sequence A000796, On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS, OEIS Foundation.

[5] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (англ.) (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, с. 109, ISBN 978-0-321-01618-8, <https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109>

[6] Jameson, G.J.O. Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) (англ.) // Mathematical Gazette : journal. — 2014. — Vol. 98, no. 499. — P. 227—234. — doi:10.2307/3621497. — .

[7] Almkvist, Gert & Berndt, Bruce (1988), Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.), American Mathematical Monthly Т. 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, <https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52>