Динамика точки

Из повседневного опыта известно, что чем больше «масса» тела, тем труднее изменить характер его движения. Чтобы привести в движение более тяжёлое тело нужно приложить больше усилий, также тяжёлое тело труднее остановить. Формализовать понятие инертной массы, позволило рассмотрение изолированной механической системы (системы, влиянием сторонних тел на которую можно пренебречь) в инерциальной системе отсчёта.

Эмпирически (см. закон сохранения импульса) было установлено, что для системы из двух взаимодействующих точек их скорости в различные моменты времени ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ связаны соотношением: ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v}}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})}$, где коэффициент ${\displaystyle \mu _{12}}$ не зависит ни от выбранных моментов времени, ни от скоростей.

В опытах на большее число тел оказалось, что ${\displaystyle \mu _{12}={\frac {\mu _{32}}{\mu _{31}}}}$. Так как ${\displaystyle \mu _{12}}$ не имеет отношения к третьему телу, выполнено ${\displaystyle \mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1}}$, то есть записанное ранее принимает вид: ${\displaystyle m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})}$.

Отметим, что масса таким образом определяется с точностью до константы (произвольного коэффициента ${\displaystyle k}$), что приводит в свою очередь к введению эталона массы.

Массе также принято давать другое определение. Для этого пользуются рычажными весами и эталоном массы. Такой способ определения основан на предположении, что сила тяжести действует одинаково на взвешиваемые на двух чашах весов массы. Поэтому определённая таким образом масса называется гравитационной.

Эксперименты (Галилей, Ньютон, Брагинский) показали, что гравитационная и инертная массы совпадают с очень большой точностью (до ${\displaystyle 10^{-12}}$). Предположение об их тождественности привело к созданию общей теории относительности.

Определением импульса ${\displaystyle {\vec {p}}}$ материальной точки служит выражение ${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$ (${\displaystyle m}$ — масса точки, а ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — вектор её скорости). На основании принципа детерминированности:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r}}(t),{\dot {\vec {r}}}(t))}$, где вектор ${\displaystyle {\vec {F}}}$ эквивалентен силе, а само выражение — второму закону Ньютона.

Отсюда в частности следует, что приобретённый импульс ${\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt}$ зависит не только от силы, но и от времени воздействия.

В предположении справедливости принципа парного взаимодействия (то есть такого, что действие двух материальных точек друг на друга не зависит от наличия других материальных точек), для замкнутой системы выполняется закон сохранения импульса:

${\displaystyle {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}=const}$,

откуда следует, что ${\displaystyle {\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}}$ (если добавить к этому, что силы направлены вдоль прямой, соединяющей точки, получится третий закон Ньютона). Оказывается справедливым принцип суперпозиции: действие многих сил равно действию одной силы (равнодействующей), равной векторной сумме действующих сил.

На основании закона сохранения импульса следует, что сумма внутренних сил замкнутой системы равна нулю. Для произвольной же системы: ${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}}$, где ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — равнодействующая внешних сил (закон изменения импульса).

Для системы материальных точек вводится понятие центра масс: ${\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{i}}},\;m_{c}=\sum _{i}m_{i}}$, в терминах которого закон изменения импульса системы упрощается ${\displaystyle \sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r}}}_{c}={\vec {F}}}$.

То есть центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе системы, а действующая сила равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Наряду с центром масс часто вводится приведённая масса.

Основные силы (фундаментальные взаимодействия):

• Силы гравитационного притяжения
• Электромагнитные силы
• Силы сильного взаимодействия — взаимодействие между адронами и кварками. Действуют в масштабах порядка размера атомного ядра и менее
• Силы слабого взаимодействия — взаимодействие, ответственное, в частности, за процессы бета-распада атомных ядер и слабые распады элементарных частиц. Проявляются на расстояниях, значительно меньших размера атомного ядра

Производные виды сил:

• Силы упругости — реакции тела на изменение его формы
• Силы трения и сопротивления
  • Вязкое трение — трение между поверхностью твёрдого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой (или трение между различными слоями такой среды)
  • Сухое трение — трение между поверхностями двух соприкасающихся твёрдых тел. Если нет относительного движения, то сухое трение — это трение покоя или трение сцепления. При относительном движении — трение скольжения или трение качения

Элементарная работа силы ${\displaystyle {\vec {F}}}$ на перемещении ${\displaystyle d{\vec {r}}}$ определяется выражением ${\displaystyle dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}}$. На участке траектории ${\displaystyle L}$, полная работа составляет

${\displaystyle A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}}$.

Так как ${\displaystyle {\vec {F}}={\dot {\vec {p}}}=m{\dot {\vec {v}}}}$, то

${\displaystyle A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_{{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_{{\vec {r}}_{1}}}$.

Выражение

${\displaystyle T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}}$

называется кинетической энергией.

Таким образом, работа силы при перемещении материальной точки равна приращению кинетической энергии этой точки, что легко обобщить на случай системы материальных точек (закон изменения энергии).

Для абсолютной скорости ${\displaystyle {\vec {v}}}$, относительной ${\displaystyle {\vec {u}}}$ и переносной ${\displaystyle {\vec {\mathrm {v} }}}$:

${\displaystyle T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} }}}$

Где ${\displaystyle T'}$ — кинетическая энергия в относительной системе отсчёта.

В относительной системе отсчёта, связанной с поступательным движеинем центра масс: ${\displaystyle T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}}$ (теорема Кёнига).

Если сила представима в виде ${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)}$, то она является потенциальной, а ${\displaystyle U({\vec {r}},t)}$ — потенциальной энергией. Если потенциальная сила не зависит от времени, её называют консервативной. Работу консервативной силы можно записать:

${\displaystyle A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial {\vec {r}}}}\,d{\vec {r}}=U({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})}$

Таким образом, вводится полная энергия ${\displaystyle E=T+U}$, которая для системы в поле консервативных сил сохраняется, то есть

${\displaystyle T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}}$ (закон сохранения энергии)

В общем случае, изменение энергии равно работе неконсервативных сил (закон изменения энергии)

Пусть материальная точка находилась в момент времени ${\displaystyle \tau }$ в некотором положении и ее скорость равнялась нулю. Если при этих начальных условиях точка продолжает оставаться в этом положении при ${\displaystyle t>\tau }$, то данная точка называется положением равновесия. В случае потенциальной силы, условием равновесия является ${\displaystyle \nabla U=0}$.

Если в положении равновесия потенциал силы имеет изолированный минимум, то такое положение равновесия устойчиво.

Далее, за ${\displaystyle \langle f\rangle }$ обозначается усреднение величины ${\displaystyle f(t)}$ за большой промежуток времени, то есть

${\displaystyle \langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt}$

С точки зрения математики, если ${\displaystyle f(t)={\dot {\varphi }}(t)}$, то ${\displaystyle \langle f\rangle =0}$. На этом основании, если движение системы ограничено в пространстве, то справедлива теорема Клазиуса:

${\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{i}\rangle }$

Элементарным приращением сектора называется вектор ${\displaystyle d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]}$, имеющий смысл элементарной площади, заметаемой концом ${\displaystyle {\vec {r}}}$. Выражение ${\displaystyle {\dot {\vec {S}}}}$ называется секториальной скоростью.

Вообще говоря, ${\displaystyle {\vec {L}}=2m{\dot {\vec {S}}}}$.

Связь выражения для момента импульса в абсолютной системе отсчёта и системе отсчёта связанной с центром масс (если таковая инерциальна) выражается как

${\displaystyle {\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\times {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}}$

Пусть кривая задана в пространстве как пересечение двух поверхностей, которые задаются уравнениями ${\displaystyle f_{1}(x,y,z,t)=0}$ и ${\displaystyle f_{2}(x,y,z,t)=0}$. Нормали к этим поверхностям ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$ коллинеарны векторам ${\displaystyle \nabla f_{1}}$ и ${\displaystyle \nabla f_{2}}$, соответственно. Так как любая нормаль к кривой лежит в плоскости, определяемой векторами ${\displaystyle N_{1}}$ и ${\displaystyle N_{2}}$, то

${\displaystyle {\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}}$

Уравнения движения материальной точки записываются в следующем виде:

${\displaystyle m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}}$

Если функции ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ явно не зависят от времени, то имеется, как и в случае свободного движения точки

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}$

Пусть материальная точка все время остаётся на некоторой гладкой поверхности, которая задаётся уравнением ${\displaystyle f(x,y,z,t)=0}$. В случае идеальной связи, сила реакции связи перпендикулярна поверхности, то есть ${\displaystyle {\vec {R}}=\lambda \nabla f}$. Движение точки полностью определяется уравнениями движения и уравнением связи

${\displaystyle m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f}$

Если связь не зависит от времени, а сила потенциальна, то будет выполнятся интеграл живых сил