Градуированное многообразие

Градуированное многообразие размерности ${\displaystyle (n,m)}$ определяется как локально окольцованное пространство ${\displaystyle (Z,A)}$, где ${\displaystyle Z}$ является ${\displaystyle n}$-мерным гладким многообразием и ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$-пучок алгебр Грассмана ранга ${\displaystyle m}$, где ${\displaystyle C_{Z}^{\infty }}$ — пучок гладких вещественных функций на ${\displaystyle Z}$. Пучок ${\displaystyle A}$ называется структурным пучком градуированного многообразия ${\displaystyle (Z,A)}$, а гладкое многообразие ${\displaystyle Z}$ — телом ${\displaystyle (Z,A)}$. Сечения пучка ${\displaystyle A}$ именуются градуированными функциями на градуированном многообразии ${\displaystyle (Z,A)}$. Они образуют коммутативное градуированное ${\displaystyle C^{\infty }(Z)}$-кольцо ${\displaystyle A(Z)}$, называемое структурным кольцом ${\displaystyle (Z,A)}$. Известные теорема Батчелора и теорема Серра — Свана следующим образом характеризуют градуированные многообразия.

Хотя упомянутый выше изоморфизм Батчелора не является каноническим, во многих приложениях он изначально фиксирован. В этом случае всякая локальная карта тривиализации ${\displaystyle (U;z^{A},y^{a})}$ векторного расслоения ${\displaystyle E\to Z}$ порождает локальное расщепление ${\displaystyle (U;z^{A},c^{a})}$ градуированного многообразия ${\displaystyle (Z,A)}$, где ${\displaystyle \{c^{a}\}}$ — базис слоя расслоения ${\displaystyle E}$. Градуированные функции на такой карте представляются ${\displaystyle \Lambda (V)}$-значными функциями

${\displaystyle f=\sum _{k=0}^{m}{\frac {1}{k!}}f_{a_{1}\ldots a_{k}}(z)c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}}$,

где ${\displaystyle f_{a_{1}\cdots a_{k}}(z)}$ — гладкие вещественные функции на ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle c^{a}}$ — нечетные порождающие элементы алгебры Грассмана ${\displaystyle \Lambda (V)}$.

Пусть задано градуированное многообразие ${\displaystyle (Z,A)}$. Градуированные дифференцирования структурного кольца градуированных функций ${\displaystyle A(Z)}$ называются градуированными векторными полями на ${\displaystyle (Z,A)}$. Они образуют вещественную супералгебру Ли ${\displaystyle \partial A(Z)}$ относительно суперскобок

${\displaystyle [u,u']=u\cdot u'-(-1)^{[u][u']}u'\cdot u}$,

где ${\displaystyle [u]}$ обозначает грассманову четность ${\displaystyle u\in \partial A(Z)}$. Градуированные векторные поля локально имеют вид

${\displaystyle u=u^{A}\partial _{A}+u^{a}{\frac {\partial }{\partial c^{a}}}}$.

Они действуют на градуированные функции ${\displaystyle f}$ по закону

${\displaystyle u(f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}})=u^{A}\partial _{A}(f_{a_{1}\ldots a_{k}})c^{a_{1}}\cdots c^{a_{k}}+\sum _{i}u^{a_{i}}(-1)^{i-1}f_{a_{1}\ldots a_{k}}c^{a_{1}}\cdots c^{a_{i-1}}c^{a_{i+1}}\cdots c^{a_{k}}}$.

Модуль, ${\displaystyle A(Z)}$-дуальный модулю градуированных векторных полей ${\displaystyle \partial A(Z)}$, называется модулем градуированных внешних одно-форм ${\displaystyle O^{1}(Z)}$. Градуированные внешние одно-формы локально имеют вид ${\displaystyle \phi =\phi _{A}dz^{A}+\phi _{a}dc^{a}}$, так что внутреннее произведение между ${\displaystyle \partial A(Z)}$ и ${\displaystyle O^{1}(Z)}$ дается выражением

${\displaystyle u\rfloor \phi =u^{A}\phi _{A}+(-1)^{[\phi _{a}]}u^{a}\phi _{a}}$.

Наделенные операцией градуированного внешнего произведения

${\displaystyle dz^{A}\wedge dc^{i}=-dc^{i}\wedge dz^{A},\qquad dc^{i}\wedge dc^{j}=dc^{j}\wedge dc^{i}}$,

градуированные одно-формы порождают градуированную внешнюю алгебру ${\displaystyle O^{*}(Z)}$ градуированных внешних форм на градуированном многообразии. Они удовлетворяют соотношениям

${\displaystyle \phi \wedge \phi '=(-1)^{|\phi ||\phi '|+[\phi ][\phi ']}\phi '\wedge \phi }$,

где ${\displaystyle |\phi |}$ — степень формы ${\displaystyle \phi }$. Градуированная внешняя алгебра ${\displaystyle O^{*}(Z)}$ является дифференциальной градуированной алгеброй относительно градуированного внешнего дифференциала

${\displaystyle d\phi =dz^{A}\wedge \partial _{A}\phi +dc^{a}\wedge {\frac {\partial }{\partial c^{a}}}\phi }$,

где градуированные дифференцирования ${\displaystyle \partial _{A}}$, ${\displaystyle \partial /\partial c^{a}}$ градуировано коммутативны с градуированными формами ${\displaystyle dz^{A}}$ и ${\displaystyle dc^{a}}$. Справедливы соотношения

${\displaystyle d(\phi \wedge \phi ')=d(\phi )\wedge \phi '+(-1)^{|\phi |}\phi \wedge d\phi '}$.

В категории градуированных многообразий рассматриваются градуированные группы Ли, градуированные расслоения и главные градуированные расслоения. Вводится также понятие струй градуированных многообразий, которые, однако, отличаются от струй сечений градуированных расслоений.

Дифференциальное исчисление на градуированных многообразиях формулируется как дифференциальное исчисление над коммутативными градуированными алгебрами, аналогично дифференциальному исчислению над коммутативными алгебрами.

Благодаря вышеупомянутой теореме Серра — Свана нечетные классические поля на гладком многообразии описываются в терминах именно градуированных многообразий, а не супермногообразий. Будучи обобщенным на градуированные многообразия, вариационный бикомплекс обеспечивает строгую математическую формулировку лагранжевой теории четных и нечетных классических полей и лагранжевой БРСТ теории.

• Супергеометрия
• Суперсимметрия
• Связность (некоммутативная геометрия)

• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, The Geometry of Supermanifolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• T. Stavracou, Theory of connections on graded principal bundles, Rev. Math. Phys. 10 (1998) 47
• B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics 570 (Springer, 1977) p. 177
• A. Almorox, Supergauge theories in graded manifolds, in Differential Geometric Methods in Mathematical Physics, Lecture Notes in Mathematics 1251 (Springer, 1987) p. 114
• D. Hernandez Ruiperez, J. Munoz Masque, Global variational calculus on graded manifolds, J. Math. Pures Appl. 63 (1984) 283
• G. Giachetta, L. Mangiarotti, G. Sardanashvily, Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009) ISBN 978-981-283-895-7
• Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

• G. Sardanashvily, Lectures on supergeometry, arXiv: 0910.0092

Теоретическая физика