Супергеометрия

Супергеометрия — это дифференциальная геометрия модулей над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированными алгебрами, на супермногообразиях и градуированных многообразиях. Супергеометрия является неотъемлемой частью многих классических и квантовых полевых моделей с участием нечетных полей, например, суперсимметричной теории поля, БРСТ теории, супергравитации.

Супергеометрия формулируется в терминах ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированных модулей и пучков над ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-градуированными коммутативными алгебрами. В частности, суперсвязности определяются как связности на этих модулях и пучках. Однако, супергеометрия не является частным случаем некоммутативной геометрии из-за разных определений дифференцирования.

Градуированные многообразия и супермногообразия описываются в терминах пучков градуированных коммутативных алгебр. Градуированные многообразия характеризуются пучками на гладких многообразиях, тогда как супермногообразия определяются склеиванием пучков супервекторных пространств. Выделяют несколько типов супермногообразий: гладкие супермногообразии (включая ${\displaystyle H^{\infty }}$-, ${\displaystyle G^{\infty }}$-, ${\displaystyle GH^{\infty }}$-супермногообразия), ${\displaystyle G}$-супермногообразия и супермногообразия Девитта. В частности, супервекторные расслоения и главные суперрасслоения рассматриваются в категории ${\displaystyle G}$-супермногообразий. При этом, главные суперрасслоения и суперсвязности на них определяются аналогично гладким главным расслоениям и связностям на них. Стоит отметить, что главные расслоения рассматриваются также в категории супермногообразий.