Гипогамильтонов граф
В теории графов говорят, что граф G гипогамильтонов, если сам по себе граф не имеет гамильтонова цикла, но любой граф, полученный удалением одной вершины из G, является гамильтоновым.
История
Гипогамильтоновы графы первым изучал Сусельер в 1963[2]. Линдгрен[1] цитирует Гаудина, Герца и Росси (1964)[3], а также Бусакера и Саати (1965)[4] в качестве дополнительного материала по данной тематике. Ещё одна ранняя работа — статья Герца, Дуби и Виге 1967 года[5].
Грётчел[6] просуммировал большинство работ в этой области следующим высказыванием: «Статьи об этих графах ... обычно выявляют новые классы гипогамильтоновых и гиповычерчиваемых графов и показывают, что для некоторых n такие графы действительно существуют или что они обладают странными и неожиданными свойствами.»
Приложения
Гипогамильтоновы графы появляются в целочисленных решениях задачи коммивояжёра – гипогамильтоновы графы определённого вида определяют фасеты многогранника коммивояжёра, тела, определённого как выпуклая оболочка множества возможных решений задачи коммивояжёра, и эти фасеты можно использовать для методов отсекающих плоскостей при решении задачи алгоритмом Гомори[7][6][8]. Грётчел заметил[6], что вычислительная сложность определения, является ли граф гипогамильтоновым, хотя и не известна, по-видимому, высока, что делает трудным поиск фасет такого типа, за исключением фасет, определённых гипогамильтоновыми графами малых размеров. К счастью, наиболее маленькие графы приводят к наиболее сильным неравенствам для данной задачи[9].
Понятия, близкие гипогамильтоновости, использовали Парк, Лим и Ким[10] для измерения отказоустойчивости сетевых топологий параллельных вычислений.
Свойства
Любой гипогамильтонов граф должен быть вершинно 3-связным, так как удаление любых двух вершин оставляет гамильтонов путь, который связен (в графе с удалённой одной вершиной существует гамильтонов цикл, а удаление второй вершины даёт гамильтонов путь) . Существуют гипогамильтоновы графы с n вершинами, в которых максимальная степень вершины равна n/2 и в которых примерно n2/4 рёбер[11].
Герц, Дуби и Виге высказали гипотезу[5], что любой гипогамильтонов граф имеет обхват 5 или более, но гипотеза была опровергнута Томассеном[12], нашедшим примеры с обхватом 3 и 4. Некоторое время не было известно, могут ли гипогамильтоновы графы быть планарными, но теперь известны некоторые примеры таких графов [13] и наименьший из этих графов имеет 40 вершин [14]. Любой планарный гипогамильтонов граф имеет по меньшей мере одну вершину только с тремя инцидентными рёбрами[15].
Если 3-однородный граф гамильтонов, его рёбра могут быть выкрашены в три цвета — используем поочерёдную раскраску рёбер двумя цветами вдоль гамильтонова цикла (который должен иметь чётную длину по лемме о рукопожатиях), а третьим цветом выкрашиваем все оставшиеся рёбра. Таким образом, все снарки, кубические графы без мостов, требующие четыре цвета для раскраски рёбер, должны быть негамильтоновы, и многие из известных снарков гипогамильтоновы. Любой гипокамильтонов снарк является бикритичным — удаление любых двух вершин оставляет подграф, рёбра которого можно выкрасить в три цвета[16][17]. Трёхцветную раскраску этого подграфа можно легко описать — после удаления вершины оставшаяся часть содержит гамильтонов цикл. После удаления второй вершины цикл становится путём, рёбра которого можно поочерёдно выкрасить двумя цветами. Оставшиеся рёбра образуют паросочетание и все эти рёбра можно выкрасить третьим цветом.
Классы цветов любой 3-цветной раскраски рёбер 3-однородного графа образуют три паросочетания, таких, что каждое ребро принадлежит ровно одному паросочетанию. Гипогамильтоновы снарки не имеют разложения на паросочетания такого типа, но Хеггквист[18] высказал гипотезу, что рёбра любого гипогамильтонова снарка могут быть использованы для образования шести паросочетаний, таких, что каждое ребро принадлежит ровно двум паросочетаниям. Это специальный случай гипотезы Бержа – Фулкерсона, что любой снарк имеет шесть паросочетаний с таким свойством.
Гипогамильтоновы графы не могут быть двудольными — в двудольном графе вершина может быть удaлена с образованием гамильтонова подграфа, только если она принадлежит к большему из двух классов цветов графа. Однако любой двудольный граф встречается в виде порождённого подграфа некоторого гипогамильтонова графа[19].
Примеры
Самый маленький гипогамильтонов граф — это граф Петерсена[5]. Более общо, обобщённый граф Петерсена GP(n,2) является гипогамильтоновым, если n равен 5 (mod 6) [20]. Граф Петерсена является представителем этого построения с n = 5.
Линдгрен[1] нашёл другой бесконечный класс гипогамильтоновых графов, в котором число вершин равно 4 (mod 6). Построение Линдгрена состоит из цикла длины 3 (mod 6) и одной центральной вершины. Центральная вершина соединена с каждой третьей вершиной цикла ребром, которое он называет спицей, а вершины на две позиции от конечной вершины спицы соединяются друг с другом. Снова наименьшим представителем построения Линдгрена является граф Петерсена.
Дополнительные бесконечные семейства дали Бонди[21], Дойен и ван Дист[22] и Гутт[23].
Перечисление
Вацлав Хватал в 1973 доказал, что для всех достаточно больших n существует гипогамильтонов с n вершинами. Если принять во внимание последовавшие открытия[24][22], «достаточно большое число» теперь известно, так что такие графы существуют для всех n ≥ 18. Полный список гипогамильтоновых графов с не более чем 17 вершинами известен [25] — это граф Петерсена с 10 вершинами, графы с 13 и 15 вершинами, найденные Герцем с помощью компьютерного поиска[26], и четыре графа с 16 вершинами. Существует по меньшей мере тринадцать гипогамильтоновых графов с 18 вершинами. При применении триггерного метода Хватала[27] к графу Петерсена и снарку «цветок», можно показать, что число гипогамильтоновых графов, конкретнее, число гипогамильтоновых снарков, растёт как экспонента от числа вершин[28][29].
Обобщения
Теоретики изучают также гиповычерчиваемые графы, графы, не содержащие гамильтонов путь, но в которых любое подмножество n − 1 вершин может быть соединено путём[30][31][32][24]. Аналогичные определения гипогамильтоновости и гиповычерчиваемости были предложены некоторыми авторами для ориентированных графов[33][34][35][15].
Эквивалентное определение гипогамильтоновых графов — что их самые длинные циклы имеют длину n − 1 и что пересечение всех самых длинных циклов пусто. Менке и Замфиреску[36] исследовали графы со свойством, что пересечение самых длинных циклов пусто, но в которых длина таких циклов меньше n − 1. Герц[26] определил циклируемость графа как наибольшее число k, такое, что любые k вершин принадлежат циклу. Гипогамильтоновы графы — это в точности графы, которые имеют циклируемость n − 1. Подобным образом Парк, Лим и Ким[10] определил граф как ƒ-устойчиво негамильтонов, если удаление самое большее ƒ вершин даёт гамильтонов подграф. Шауэрте и Замфиреску[37] изучали графы с циклируемостью n − 2.
Примечания
- Lindgren, 1967.
- Sousselier, 1963.
- Gaudin, Herz, Rossi, 1964.
- Busacker, Saaty, 1965.
- Herz, Duby, Vigué, 1967.
- Grötschel, 1980.
- Grötschel, 1977.
- Grötschel, Wakabayashi, 1981.
- Goemans, 1995.
- Park, Lim, Kim, 2007.
- Thomassen, 1981.
- Thomassen, 1974b.
- Задача о существовании планарных гипогамильтоновых графов была поставлена как открытый вопрос Вацлавом Хваталом (Chvátal 1973) и группа, в составе Хватала, Кларнера и Кнута, обещала приз в $5 нашедшему такой граф (Chvátal, Klarner, Knuth 1972). Томассен (Thomassen 1976) для поиска планарных гипогамильтоновых графов с обхватом 3, 4 и 5 использовал теорему Гринберга и показал, что существует бесконечно много планарных гипогамильтоновых графов.
- Нашли Джуйанде, МкКей, Ёстергард и Петтерссон (Jooyandeh, McKay, и др. 2013), для чего использовали компьютерный поиск и теорему Гринберга. До этого малые планарные гипогамильтоновы графы с 42, 57 и 48 вершинами были найдены Винером и Арайа (Wiener, Araya 2009), Хатцелем (Hatzel 1979) и Замфиреску (Zamfirescu, Zamfirescu 2007).
- Thomassen, 1978.
- Steffen, 1998.
- Steffen, 2001.
- Häggkvist, 2007.
- Collier, Schmeichel, 1977.
- Робертсон (Robertson 1969) доказал, что эти графы негамильтоновы, хотя можно легко проверить, что удаление одной вершины даёт гамильтонов граф. См. статью Алспаха (Alspach 1983) по классификации негамильтоновых обобщённых графов Петерсена.
- Bondy, 1972.
- Doyen, van Diest, 1975.
- Gutt, 1977.
- Thomassen, 1974a.
- Aldred, McKay, Wormald, 1997. См. также последовательность A141150 в OEIS.
- Herz, 1968.
- Chvátal, 1973.
- Skupień, 1989.
- Skupień, 2007.
- Kapoor, Kronk, Lick, 1968.
- Kronk, 1969.
- Grünbaum, 1974.
- Fouquet, Jolivet, 1978.
- Grötschel, Wakabayashi, 1980.
- Grötschel, Wakabayashi, 1984.
- Menke, Zamfirescu, Zamfirescu, 1998.
- Schauerte, Zamfirescu, 2006.
Литература
- R. A. Aldred, B. D. McKay, N. C. Wormald. Small hypohamiltonian graphs // J. Combinatorial Math. Combinatorial Comput.. — 1997. — Т. 23. — С. 143–152.
- B. R. Alspach. The classification of Hamiltonian generalized Petersen graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1983. — Т. 34, вып. 3. — С. 293–312. — doi:10.1016/0095-8956(83)90042-4.
- J. A. Bondy. Variations of the Hamiltonian theme // Canadian Mathematical Bulletin. — 1972. — Т. 15. — С. 57–62. — doi:10.4153/CMB-1972-012-3.
- R. G. Busacker, T. L. Saaty. Finite Graphs and Networks. — McGraw-Hill, 1965.
- V. Chvátal. Flip-flops in hypo-Hamiltonian graphs // Canadian Mathematical Bulletin. — 1973. — Т. 16. — С. 33–41. — doi:10.4153/CMB-1973-008-9.
- V. Chvátal, D. A. Klarner, D. E. Knuth. Selected Combinatorial Research Problems. — Computer Science Department, Stanford University, 1972. — (Tech. Report STAN-CS-72-292). (недоступная ссылка)
- J. B. Collier, E. F. Schmeichel. New flip-flop constructions for hypohamiltonian graphs // Discrete Mathematics. — 1977. — Т. 18, вып. 3. — С. 265–271. — doi:10.1016/0012-365X(77)90130-3.
- J. Doyen, V. van Diest. New families of hypohamiltonian graphs // Discrete Mathematics. — 1975. — Т. 13, вып. 3. — С. 225–236. — doi:10.1016/0012-365X(75)90020-5.
- J.-L. Fouquet, J. L. Jolivet. Hypohamiltonian oriented graphs // Cahiers Centre Études Rech. Opér.. — 1978. — Т. 20, вып. 2. — С. 171–181.
- T. Gaudin, P. Herz, Rossi. Solution du problème No. 29 // Rev. Franç. Rech. Opérationnelle. — 1964. — Т. 8. — С. 214–218.
- Michel X. Goemans. Worst-case comparison of valid inequalities for the TSP // Mathematical Programming. — 1995. — Т. 69, вып. 1–3. — С. 335–349. — doi:10.1007/BF01585563.
- M. Grötschel. Hypohamiltonian facets of the symmetric travelling salesman polytope // Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 1977. — Т. 58. — С. 469–471.
- M. Grötschel. On the monotone symmetric traveling salesman problem: hypohamiltonian/hypotraceable graphs and facets // Mathematics of Operations Research. — 1980. — Т. 5, вып. 2. — С. 285–292. — doi:10.1287/moor.5.2.285. — .
- M. Grötschel, Y. Wakabayashi. Hypohamiltonian digraphs // Mathematics of Operations Research. — 1980. — Т. 36. — С. 99–119.
- M. Grötschel, Y. Wakabayashi. On the structure of the monotone asymmetric travelling salesman polytope I: hypohamiltonian facets // Discrete Mathematics. — 1981. — Т. 24. — С. 43–59. — doi:10.1016/0012-365X(81)90021-2.
- M. Grötschel, Y. Wakabayashi. Mathematical Programming (Proc. International Congress, Rio de Janeiro, 1981) / R. W. Cottle, M. L. Kelmanson, B. Korte. — North-Holland, 1984.
- B. Grünbaum. Vertices missed by longest paths or circuits // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 1974. — Т. 17. — С. 31–38. — doi:10.1016/0097-3165(74)90025-9.
- S. Gutt. Infinite families of hypohamiltonian graphs // Académie Royale de Belgique, Bulletin de la Classe des Sciences, Koninklijke Belgische Academie, Mededelingen van de Klasse der Wetenschappen, 5e Série. — 1977. — Т. 63, вып. 5. — С. 432–440.
- R. Häggkvist. Research problems from the 5th Slovenian Conference (Bled, 2003) / B. Mohar, R. J. Nowakowski, D. B. West. — 2007. — Т. 307 (3–5). — С. 650–658. — (Discrete Mathematics). — doi:10.1016/j.disc.2006.07.013.
- W. Hatzel. Ein planarer hypohamiltonscher Graph mit 57 Knoten // Math. Ann.. — 1979. — Т. 243, вып. 3. — С. 213–216. — doi:10.1007/BF01424541.
- J. C. Herz. Computers in Mathematical Research. — North-Holland, 1968. — С. 97–107.
- J. C. Herz, J. J. Duby, F. Vigué. Theory of Graphs: International Symposium, Rome 1966 / P. Rosenstiehl. — Paris: Gordon and Breach, 1967. — С. 153–159.
- Mohammadreza Jooyandeh, Brendan D. McKay, Patric R. J. Östergård, Ville H. Pettersson, Carol T. Zamfirescu. Planar Hypohamiltonian Graphs on 40 Vertices. — 2013. — arXiv:1302.2698.
- S. F. Kapoor, H. V. Kronk, D. R. Lick. On detours in graphs // Canadian Mathematical Bulletin. — 1968. — Т. 11. — С. 195–201. — doi:10.4153/CMB-1968-022-8.
- H. V. Kronk. Does there exist a hypotraceable graph? // American Mathematical Monthly / V. Klee. — Mathematical Association of America, 1969. — Т. 76, вып. 7. — С. 809–810. — doi:10.2307/2317879. — .
- W. F. Lindgren. An infinite class of hypohamiltonian graphs // American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1967. — Т. 74, вып. 9. — С. 1087–1089. — doi:10.2307/2313617. — .
- E. Máčajová, M. Škoviera. Constructing hypohamiltonian snarks with cyclic connectivity 5 and 6 // Electronic Journal of Combinatorics. — 2007. — Т. 14, вып. 1. — С. R14.
- B. Menke, T. I. Zamfirescu, C. M. Zamfirescu. Intersections of longest cycles in grid graphs // Journal of Graph Theory. — 1998. — Т. 25, вып. 1. — С. 37–52. — doi:10.1002/(SICI)1097-0118(199705)25:1<37::AID-JGT2>3.0.CO;2-J.
- S. P. Mohanty, D. Rao. Combinatorics and Graph Theory. — Springer-Verlag, 1981. — Т. 885. — С. 331–338. — (Lecture Notes in Mathematics). — doi:10.1007/BFb0092278.
- J.-H. Park, H.-S. Lim, H.-C. Kim. Panconnectivity and pancyclicity of hypercube-like interconnection networks with faulty elements // Theoretical Computer Science. — 2007. — Т. 377, вып. 1–3. — С. 170–180. — doi:10.1016/j.tcs.2007.02.029.
- G. N. Robertson. Graphs minimal under girth, valency and connectivity constraints. — Waterloo, Ontario: University of Waterloo, 1969. — (Ph. D. thesis).
- Boris Schauerte, C. T. Zamfirescu. Regular graphs in which every pair of points is missed by some longest cycle // An. Univ. Craiova Ser. Mat. Inform.. — 2006. — Т. 33. — С. 154–173.
- Z. Skupień. Graphs, Hypergraphs and Matroids III (Proc. Conf. Kalsk 1988). — Zielona Góra: Higher College of Engineering, 1989. — С. 123–132.. As cited by Skupień (2007)
- Z. Skupień. 6th Czech-Slovak International Symposium on Combinatorics, Graph Theory, Algorithms and Applications. — 2007. — Т. 28. — С. 417–424. — (Electronic Notes in Discrete Mathematics). — doi:10.1016/j.endm.2007.01.059.
- R. Sousselier. Problème no. 29: Le cercle des irascibles // Rev. Franç. Rech. Opérationnelle / C. Berge. — 1963. — Т. 7. — С. 405–406.
- E. Steffen. Classification and characterizations of snarks // Discrete Mathematics. — 1998. — Т. 188, вып. 1–3. — С. 183–203. — doi:10.1016/S0012-365X(97)00255-0.
- E. Steffen. On bicritical snarks // Math. Slovaca. — 2001. — Т. 51, вып. 2. — С. 141–150.
- Carsten Thomassen. Hypohamiltonian and hypotraceable graphs // Discrete Mathematics. — 1974a. — Т. 9. — С. 91–96. — doi:10.1016/0012-365X(74)90074-0.
- Carsten Thomassen. {{{заглавие}}} // Discrete Mathematics. — 1974b. — Т. 10, вып. 2. — С. 383–390. — doi:10.1016/0012-365X(74)90128-9.
- Carsten Thomassen. Planar and infinite hypohamiltonian and hypotraceable graphs // Discrete Mathematics. — 1976. — Т. 14, вып. 4. — С. 377–389. — doi:10.1016/0012-365X(76)90071-6.
- Carsten Thomassen. Theory and applications of graphs (Proc. Internat. Conf., Western Mich. Univ., Kalamazoo, Mich., 1976). — Berlin: Springer-Verlag, 1978. — Т. 642. — С. 557–571. — (Lecture Notes in Mathematics).
- Carsten Thomassen. Planar cubic hypo-Hamiltonian and hypotraceable graphs // Journal of Combinatorial Theory, Series B. — 1981. — Т. 30. — С. 36–44. — doi:10.1016/0095-8956(81)90089-7.
- Gábor Wiener, Makoto Araya. The ultimate question. — 2009. — arXiv:0904.3012.
- C. T. Zamfirescu, T. I. Zamfirescu. A planar hypohamiltonian graph with 48 vertices // Journal of Graph Theory. — 2007. — Т. 55, вып. 4. — С. 338–342. — doi:10.1002/jgt.20241.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Hypohamiltonian Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.