Выпуклая кривая

Любая прямая ${\displaystyle L}$ делит евклидову плоскость на две полуплоскости, в объединении дающие всю плоскость, а пересечение которых совпадает с ${\displaystyle L}$, кривая ${\displaystyle C}$ «лежит по одну сторону от ${\displaystyle L}$», если она полностью содержится в одной из этих полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклой, если она лежит по одну сторону от любой её касательной прямой[1]. Другими словами, выпуклая кривая является кривой, которая имеет опорную прямую в каждой точке кривой.

Выпуклую кривую можно определить как границу выпуклого множества евклидовой плоскости. Это означает, что выпуклая кривая всегда замкнута (то есть не имеет конечных точек)[2].

Иногда используется более слабое определение, в котором выпуклая кривая является подмножеством границы выпуклого множества. В этом варианте выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая — выпуклая кривая, не содержащая отрезков. Эквивалентно, строго выпуклая кривая — это кривая, которая пересекает любую прямую максимум в двух точках[3][4], или простая замкнутая кривая в выпуклой позиции, что означает, что никакая точка кривой не может быть представлена в виде выпуклой комбинации любого другого подмножества её точек.

Замкнутая кривая ${\displaystyle C}$ является выпуклой в том и только в том случае, когда не существует трёх различных точек на кривой ${\displaystyle C}$, таких, что касательные в этих точках параллельны.

Кривая называется простой, если она не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая ${\displaystyle C}$ выпукла тогда и только тогда, когда её кривизна либо всегда положительна, либо всегда отрицательна. То есть, её угол наклона (угол касательной к кривой по отношению к оси) является слабо монотонной функцией параметризации кривой[1].