Бесконечно делимое распределение

Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей — распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

Определение

Случайная величина $Y$ называется бесконечно делимой, если для любого $n\in \mathbb {N}$ она может быть представлена в виде

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}

,

где $\left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределений

Характеристическая функция $\phi _{Y}(t)$ бесконечно делимой случайной величины $Y$ имеет вид:

$\phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)$ .

Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Канонические представления бесконечно делимых распределений

Теорема Колмогорова

Для того, чтобы функция распределения $\Phi (x)$ c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции $\phi (t)$ имел вид:

\ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2}}}dG(x)

,

где $\gamma$ — вещественная постоянная, а $G(x)$ — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — Хинчина

Пусть $\phi (t)$ — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $\mathbb {R}$ . Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $G:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , такая что

\ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)

Примеры

Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

Пусть задано вероятностное пространство $(\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)$ , где

m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

для некоторого $\lambda >0$ . Тогда случайная величина $X:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ , имеющая вид

X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N}

не является бесконечно делимой.

Бесконечно делимое распределение на локально компактных абелевых группах

Распределение $\mu$ на локально компактной абелевой группе $X$ называется бесконечно делимым, если для каждого натурального $n$ существует элемент $x_{n}\in X$ и распределение $\mu _{n}$ на $X$ такой, что $\mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}$ , где $E_{x_{n}}$ - вырожденное распределение, сосредоточенное в $x_{n}$ (см. [1], [2]).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.

См. также

Устойчивое распределение.

Литература

Б.В. Гнеденко Курс теории вероятностей, М., Наука, 1965, 400 стр.

Примечания

К. Р. Партасарати, Р. Ранга Рао, С. Р. С. Варадхан, «Распределения вероятностей на локально компактных абелевых группах», Математика, 9:2 (1965), (Parthasarathy, K. R.; Rao, R. R.; Varadhan, S. R. S. Probability distributions on locally compact Abelian groups. Ill. J. Math. 7, 337—369 (1963))
Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. - New York — London: Academic Press, 1967.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] К. Р. Партасарати, Р. Ранга Рао, С. Р. С. Варадхан, «Распределения вероятностей на локально компактных абелевых группах», Математика, 9:2 (1965), (Parthasarathy, K. R.; Rao, R. R.; Varadhan, S. R. S. Probability distributions on locally compact Abelian groups. Ill. J. Math. 7, 337—369 (1963))

[2] Parthasarathy K.R. Probability measures on metric spaces. Probab. Math. Statist. — 3. - New York — London: Academic Press, 1967.