Асимптотически нормальная оценка

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ — выборка из распределения ${\displaystyle \mathbb {P} _{\theta }}$, зависящего от параметра ${\displaystyle \theta \in \Theta }$.

Точечная оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ называется асимптотически нормальной с дисперсией ${\displaystyle \sigma \ ^{2}(\theta )}$, если

${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)}$ - нормальная случайная величина.

Эквивалентно, оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ асимптотически нормальна, если

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )}}\to {\tilde {Z}}}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$,

где ${\displaystyle {\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)}$.

• Асимптотически нормальная оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ состоятельна.
• При выполнении достаточно общих технических условий оценка метода моментов асимптотически нормальна.

• Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]}$ - выборка из непрерывного равномерного распределения, где ${\displaystyle \theta >0}$. Пусть

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}}$,

где ${\displaystyle {\bar {X}}}$ - выборочное среднее, а

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)}}$,

где ${\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Тогда оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{1}}$ является асимптотически нормальной с дисперсией ${\displaystyle \sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3}$, а оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}}$ не является асимптотически нормальной.