Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном изменении некоторых параметров физической системы — таком, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].

Возникновение термина

Адиабатический процесс первоначально означал процесс без теплообмена с окружающей средой. Название возникло от термина «адиабатическая оболочка»(др.-греч. ἀδιάβατος — «непроходимый») — оболочка, не пропускающая тепло.

Но в середине XX века некоторые учёные (в частности, Л. Д. Ландау) стали так называть процесс, проходящий через практически равновесные состояния, то есть достаточно медленно и плавно. Сейчас такой процесс называют квазистатическим или равновесным. Исторически название «адиабатический инвариант» появилось по аналогии с таким термодинамическим процессом.

В настоящее время слово «адиабатический» снова используется в первоначальном значении («процесс без теплообмена со средой»), но термин «адиабатический инвариант» уже устоялся.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом и зависит от параметра , адиабатичность изменения параметра определяется условием

.

Функция Гамильтона системы зависит от её внутренних переменных и параметра

Внутренние переменные и меняются со временем быстро, с периодом . Но энергия системы является интегралом движения при неизменном параметре . При изменении параметра во времени

.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр неизменен.

,

где усреднение определено как

.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной :

.

В таком случае период равен

,

где интегрирование проводится вперёд и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс как функцию энергии , координаты и параметра, после некоторых преобразований можно получить

.

Окончательно можно записать

,

где величина

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами и . Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

.

Пример. Гармонический осциллятор

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

,

где  — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии и поэтому имеет вид

.

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями и , соответственно его площадь, делённая на , равна . Таким образом, величина является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделённому на .

,

или

,

где  — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания

  1. Дыхне А. М. Адиабатические инварианты // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. Ааронова—Бома эффект — Длинные линии. — С. 26. — 704 с. 100 000 экз.
  2. Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины и в процессе движения системы.

Литература

  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. М.: Наука, 1988. — С. 199—202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.