Ящик с усами

График «ящик с усами», или «ящичковая диаграмма», был разработан Джоном Тьюки в 1970-х годах. По сути, ящик с усами — это быстрый способ изучения одного или нескольких наборов данных в графическом виде. Этот график может показаться более примитивным, чем, например, гистограммы, но он имеет некоторые преимущества. Он занимает меньше места и поэтому особенно полезен для сравнения распределений между несколькими группами или наборами данных. Кроме того, ящик с усами в своей первоначальной форме прост для построения.

На графике 2 приведены два графических представления распределения одной и той же случайной величины. Сверху показана плотность распределения, а снизу ящик с усами. Видно, что ящик с усами более компактный и по нему легко можно оценить медианы, квантили, дисперсию и асимметрию в данных, а также выявить выбросы. Асимметрию данных можно увидеть не только по медиане, смещённой к какому-либо концу ящика, но и по разной длине усов, выходящих из ящика.

График «ящик с усами» очень прост для понимания и именно поэтому часто используется в различных публикациях для визуализации данных.

Границами ящика служат первый и третий квартили (25-й и 75-й процентили соответственно), линия в середине ящика — медиана (50-й процентиль). Концы усов — края статистически значимой выборки (без выбросов), и они могут определяться несколькими способами. Наиболее распространённые значения, определяющие длину «усов»:

• Минимальное и максимальное наблюдаемые значения данных по выборке (в этом случае выбросы отсутствуют);
• Разность первого квартиля и полутора межквартильных расстояний; сумма третьего квартиля и полутора межквартильных расстояний (в этом случаем присутствуют выбросы). В общем виде эта формула имеет вид

 ${\displaystyle X_{1}=Q_{1}-k(Q_{3}-Q_{1})}$,  ${\displaystyle X_{2}=Q_{3}+k(Q_{3}-Q_{1})}$,

где ${\displaystyle X_{1}}$ — нижняя граница уса, ${\displaystyle X_{2}}$ — верхняя граница уса, ${\displaystyle Q_{1}}$ — первый квартиль, ${\displaystyle Q_{3}}$ — третий квартиль, ${\displaystyle k}$ — коэффициент, наиболее часто употребляемое значение которого равно 1,5. При этом длину верхнего уса ограничиваем максимальным значением по выборке, попадающим в верхнюю границу уса; длину нижнего уса ограничиваем минимальным значением по выборке, попадающим в длину нижнего уса. Поэтому длина верхнего и нижнего уса может не совпадать.

• Среднее арифметическое по выборке ± одно стандартное отклонение;
• 9-й и 91-й процентили;
• 2-й и 98-й процентили.

Данные, выходящие за границы усов (выбросы), отображаются на графике в виде точек, маленьких кружков или звёздочек. Иногда на графике отмечают среднее арифметическое и его доверительный интервал («зарубка» на ящике). Иногда зарубками обозначают доверительный интервал для медианы.

В связи с тем, что не существует единого общего согласия относительно того, как конкретно строить «ящик с усами», при виде такого графика необходимо искать информацию в сопроводительном тексте относительно того, по каким параметрам ящик с усами строился.

Несмотря на свою простоту и удобство, первоначальная форма ящика с усами обладает и некоторыми недостатками. Один из таких существенных недостатков — отсутствие на графике информации о количестве наблюдений по выборке. Действительно, ящик с усами позволяет сравнить медианы, квартили, минимумы и максимумы по различным выборкам, но если мы захотим сделать вывод об общей медиане по всей совокупности выборок, то мы не сможем этого сделать, не прибегая к расчётам на исходных данных. В 1978 году первоначальная форма ящика с усами была модифицирована МакГиллом, Ларсеном и Тьюки. Они предложили учитывать размер выборочной совокупности, рисуя ящики разного размера, а также изобразили на графике доверительный интервал для медиан в виде расходящихся клиньев. Чем больше ящик по размерам, тем больше количество наблюдений в выборке, по которой строился этот ящик. Что касается доверительного интервала, то он представляет собой выемки на каждом из ящиков; в случае, если получившиеся выемки разных ящиков не пересекаются, их медианы статистически значимо различаются.

Иная модификация получила название «histplot» (сокр. от «histogram plot», с англ. — «график-гистограмма»). Теперь на графике отображаются плотности распределения по трём точкам: медиане, первому и третьему квартилю. Соответственно, вместо прямоугольника, «ящик» теперь представляет собой две равнобедренные трапеции, имеющие смежное основание.

Дальнейшее изменение получило название «vaseplot» (с англ. — «график-ваза») из-за визуального сходства «ящика» с вазой. На данном графике производится отображение всех плотностей вероятностей от первого до третьего квартиля. Затемнённые области представляют собой доверительный интервал медианы.

• Frigge, M.; Hoaglin, D. C.; Iglewicz, B. Some Implementations of the Boxplot (англ.) // The American Statistician : journal. — 1989. — Vol. 43, no. 1. — P. 50—54. — doi:10.2307/2685173. — .
• Benjamini, Y. Opening the Box of a Boxplot (англ.) // The American Statistician : journal. — 1988. — Vol. 42, no. 4. — P. 257—262. — doi:10.2307/2685133. — .
• Поп-математика для взрослых детей
• Диаграмма размаха