Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма[1]) называется функция двух аргументов $K(x,\;y)$ , определяющая некий интегральный оператор ${\mathcal {A}}$ равенством

\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),

где $x\in \mathbb {X}$ — пространство с мерой $d\mu (x)$ , а $\varphi (x)$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на $\mathbb {X}$ .

Примеры

Ядро $K(x,\;y)$ называется $L_{2}$ -ядром, если оно удовлетворяет условию:

\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,

где $K(x,\;y)$ — измеримая на $D$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

Ядро, удовлетворяющее условию:

K(x,\;y)\equiv 0

при

y>x

называется ядром Вольтерры.

Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество $K(x,\;y)=K(y,\;x)$ .
Если выполняется тождество $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}$ , где ${\overline {K(y,\;x)}}$ — комплексно сопряжённое к $K(x,\;y)$ , то такое ядро называется эрмитовым.
Если ядро $K(x,\;y)$ допускает разложение вида:

K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),

где $\{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}$ $(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций ( $L_{2}$ -функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера о разложении ядра гласит:

Если симметричное $L_{2}$ -ядро $K(x,\;y)$ непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) $\lambda _{k}$ , то справедливо представление:

$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},$

где $\{\varphi _{k}(x)\}$ — ортогональная система $L_{2}$ -функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..

Примечания

Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 660. — 1060 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 660. — 1060 с.