Эффект Шубникова — де Хааза

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

${\displaystyle E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right),}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}}$ — циклотронная частота осциллятора Ландау, ${\displaystyle m^{*}}$ — эффективная масса электрона, ${\displaystyle n}$ — номер уровня Ландау, ${\displaystyle c}$ — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ ${\displaystyle DOS(\varepsilon )}$ в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

${\displaystyle DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\right)}.}$

Пусть уровень Ферми ${\displaystyle E_{F}}$ зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии ${\displaystyle E_{F}=E_{n}^{LL}}$ уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода ${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{B}}\right)}$ определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

${\displaystyle n_{2DEG}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},}$

где ${\displaystyle e}$ — заряд электрона, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}$

${\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}$

где ${\displaystyle \eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}}$, ${\displaystyle T_{D}}$ — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению ${\displaystyle \Gamma }$ уровня как ${\displaystyle \pi k_{B}T_{D}=\Gamma }$, ${\displaystyle k_{B}}$ — постоянная Больцмана, ${\displaystyle T_{e}}$ — температура электронного газа, ${\displaystyle g}$ — множитель Ландэ для электрона (${\displaystyle g}$-фактор), ${\displaystyle m_{0}}$ — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа запишется в виде

${\displaystyle \sigma _{xx}=\sigma _{0L}\left(1-\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)}$

${\displaystyle b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}}$

где ${\displaystyle \sigma _{0L}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{*}}}{\frac {E_{F}}{3}}}$ (${\displaystyle \Xi }$ — деформационный потенциал).

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)

• B. K. Ridley Quantum Processes in semiconductors. — Oxford, 1993. ISBN 0-19-851752-1