Число встреч (комбинаторика)

В комбинаторной математике под числом встреч понимается число перестановок множества {1, ..., n} с заданным числом неподвижных элементов. Для n  0 и 0 ≤ k  n число встреч Dn, k – это число перестановок {1, ..., n}, содержащих ровно k элементов, не изменивших положение в перестановке.

Например, если семь подарков было выдано семи различным лицам, но только два человека получили подарки, предназначенные именно им, в D7, 2 = 924 вариантах. В другом часто приводимом примере, в школе танцев с семью парами учеников, после перерыва на чай, участники случайно выбирают партнера для продолжения танцев, и снова в D7, 2 = 924 случаях 2 пары окажутся прежними.

Численные значения

Фрагмент таблицы числа встреч (последовательность A008290 в OEIS):

01234567
0 1
1 0 1
2 1 0 1
3 2 3 0 1
4 9 8 6 0 1
5 44 45 20 10 0 1
6 265 264 135 40 15 0 1
7 1854 1855 924 315 70 21 0 1

Формулы

Числа в первом столбце (k = 0) показывают число беспорядков. Так,

для неотрицательного n. Оказывается

,

где дробь округляется вверх для четных n и вниз для нечетных, и для n  1, это соответствует ближайшему целому.

Доказательство просто, если уметь считать число беспорядков : выберем m фиксированных элементов из n, затем посчитаем число беспорядков оставшихся n  m элементов (это будет ).

[1]

Отсюда следует, что

для больших n и фиксированного m.

Распределение вероятности

Сумма элементов строки в вышеприведенной таблице является числом всех перестановок набора {1, ..., n}, и она равна n!. Если разделить все элементы строки n на n!, получим распределение вероятностей числа перестановок с неподвижными точками в равномерно распределенных случайных перестановках элементов {1, ..., n}. Вероятность того, что перестановка будет иметь k неподвижных точек, равна

Для n  1 математическое ожидание числа неподвижных точек равно 1.

Более того, для i  n, iмомент этого распределения является i-м моментом распределения Пуассона со значением 1.[2] Для i > n i-й момент меньше соответствующего момента распределения Пуассона. Точнее, для i  n i-й момент является iчислом Белла, т. е. число разбиений множества размера i.

Ограничение значений распределения вероятности

С возрастанием числа элементов мы получим

Это как раз равно вероятности того, что случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием 1, равна k. Другими словами, при возрастании n распределение числа неподвижных точек у случайной перестановки n элементов приближается к распределению Пуассона с математическим ожиданием 1.

Примечания

  1. Кофман А. — Введение в прикладную комбинаторику — 1975.
  2. Jim Pitman, "Some Probabilistic Aspects of Set Partitions", American Mathematical Monthly, volume 104, number 3, March 1997, pages 201–209.

Ссылки

  • John Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, New York, Wiley, 1958, pages 57, 58, and 65.
  • Weisstein, Eric W. Partial Derangements (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.