Функциональная производная

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются.

Определение

Пусть  — некоторый функционал, то есть функция, определённая на некотором множестве функций. Значение функционала на функции обозначают . Его производная Гато (производная по направлению) есть предел (если он существует) выражения . Здесь  — некоторая функция из области определения . Отметим, что такая производная, вообще говоря, зависит от выбора функции . В этом смысле ситуация вполне аналогичная конечномерной. Например, функция дифференцируема в точке справа и слева, но эти односторонние производные различны, а в обычном смысле эта функция в 0 не дифференцируема.

Гораздо чаще в приложениях возникает производная функционала, аналогичная классической конечномерной производной и являющаяся частным случаем производной Гато. Не давая общего определения, рассмотрим типичный пример: поиск экстремума функционала на множестве траекторий, проходящих через две заданные точки. Такая задача возникает при исследовании задач классической механики с помощью принципа наименьшего действия, подобного же типа задача о нахождении фигуры максимальной площади с заданным периметром и т. п.

Пусть функционал имеет интегральный вид[1]

Его первой вариацией называется выражение

Если она представима в виде

с точностью до величин второго порядка по , то функция называется функциональной производной[2] по и обозначается . Функционал при этом называют дифференцируемым.

Конкретно в данной задаче , но в общем случае ответ существенно зависит от постановки задачи и граничных условий.

Вторая вариация

Если функционал дифференцируем, то можно определить аналог второй производной (в данном случае он скорее аналогичен матрице вторых частных производных). Раскладывая полную вариацию до второго порядка по и отбрасывая величины первого порядка, получим выражение, называемое второй вариацией функционала:

Свойства

Функциональная производная по свойствам аналогично обычной. Например:

  • Линейность.
  • Тождество Лейбница.
  • Разложение полной вариации по частным производным:
  • В точке экстремума функционала его производная равна 0. Точка экстремума является точкой минимума (максимума), если вторая вариация — положительно (отрицательно) определённая квадратичная форма.

и так далее.

Примеры

Энтропия

Информационная энтропия дискретной случайной величины — это функционал функции вероятности.

Поэтому

Поэтому

Экспонента

Пусть

Используем в качестве пробной функции дельта-функцию:

Поэтому

Примечания

  1. Леви, 1967, с. 42.
  2. Леви, 1967, с. 56-57.

Литература

  • Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967. — 509 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.