Производная Гато

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — нормированные пространства над полем ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ а ${\displaystyle F}$ — отображение, действующее из ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y.}$

Если для некоторого ${\displaystyle x\in X}$ и некоторого ${\displaystyle h\in X}$ существует предел (сходимость понимается по норме пространства ${\displaystyle Y}$)

${\displaystyle dF(x,\;h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0}{F(x+t\cdot h)-F(x) \over t},}$

то его называют дифференциалом Гато (или слабым дифференциалом) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$).

Отображение ${\displaystyle dF(x,\;h)}$ также называют первой вариацией отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ (на приращении ${\displaystyle h}$).

Дифференциал Гато обладает свойством однородности: если определён ${\displaystyle dF(x,\;h)}$, то для любого ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ будет определён ${\displaystyle dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).}$

Слабый дифференциал не обязан быть линейным по ${\displaystyle h.}$

Если линейность имеет место, то есть

${\displaystyle dF(x,\;h)=F\;'(x)\ h,}$

где ${\displaystyle F\;'(x)}$ — ограниченный линейный оператор, то ${\displaystyle F\;'(x)}$ называется слабой производной (или производной Гато) отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x.}$

• Производная (обобщения)
• Производная Фреше

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
• Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление — Любое издание.