Функции Джека

В кольце ${\displaystyle \Lambda ^{n}}$ однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом: ${\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }}$, где ${\displaystyle p_{\lambda }(x)}$ — базис из степенных сумм, ${\displaystyle z_{\lambda }}$ — централизатор разбиения ${\displaystyle \lambda }$, а ${\displaystyle \delta _{\mu \lambda }}$ — символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса ${\displaystyle m_{\lambda }}$ к базису из функций Шура ${\displaystyle s_{\lambda }}$ будет верхнетреугольной.

Более общий вариант задания скалярного произведения ${\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=\alpha ^{l(\lambda )}z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }}$ приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются ${\displaystyle J_{\lambda }(x;\alpha )}$ и однозначно определяются из следующих трёх свойств:

(P1) (ортогональность) ${\displaystyle <J_{\lambda }(\alpha ),J_{\mu }(\alpha )>=0}$ при ${\displaystyle \lambda \not =\mu }$

(P2) (верхнетреугольность) ${\displaystyle J_{\lambda }(\alpha )=\sum \limits _{\mu \leq \lambda }\nu _{\lambda \mu }m_{\mu }}$

(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)

(P3) (нормализация) ${\displaystyle [m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)}$

(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)

Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}$

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как

${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

где

${\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}$

Для ${\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ обычно обозначается ${\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и называется зональным многочленом.

P нормализация задаётся тождеством ${\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}$, где

${\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1),}$

где ${\displaystyle a_{\lambda }}$ и ${\displaystyle l_{\lambda }}$ обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при ${\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}$ является обычной функцией Шура.

Подобно многочленам Шура, ${\displaystyle P_{\lambda }}$ может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра ${\displaystyle \alpha }$.

Таким образом, формула [2] для функций Джека ${\displaystyle P_{\lambda }}$ задаётся как

${\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)},}$

где сумма берётся по всем таблицам формы ${\displaystyle \lambda }$, и ${\displaystyle T(s)}$ обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.

Вес ${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}$ можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы ${\displaystyle \lambda }$ может быть представлена как последовательность разбиений

${\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda ,}$

где ${\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}$ обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда

${\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha ),}$

где

${\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}$

и произведение берётся только по всем ячейкам s в ${\displaystyle \lambda }$, таким что s имеет ячейку из ${\displaystyle \lambda /\mu }$ в том же ряду, но не в одном столбце .

При ${\displaystyle \alpha =1}$ многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура

${\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

где

${\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}$

произведение берётся по всем длинам крюков разбиения ${\displaystyle \kappa }$.

Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения ${\displaystyle \theta _{\mu }^{\lambda }(\alpha )}$ называются характерами Джека: ${\displaystyle J_{\lambda }^{(\alpha )}=\sum _{\rho }\theta _{\rho }^{\lambda }p_{\rho }.}$

Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:

${\displaystyle \theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=1,}$

${\displaystyle \theta _{(1^{n-2}2^{1})}^{\lambda }(\alpha )=\sum _{s\in \lambda }(\alpha a'(s)-l'(s)),}$

${\displaystyle \theta _{(n)}^{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda \setminus {(1,1)}}(\alpha a'(s)-l'(s)),}$

${\displaystyle \theta _{\mu }^{(n)}(\alpha )={\frac {n!}{z_{\mu }}}\alpha ^{n-l(\mu )},}$

${\displaystyle \theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=\theta _{\mu }^{(n)}(-1)={\frac {n!}{z_{\mu }}}(-1)^{n-l(\mu )},}$

где ${\displaystyle a'(s)}$ — число ячеек слева от s в диаграмме Юнга, ${\displaystyle l'(s)}$ — над s, ${\displaystyle z_{\lambda }}$ — централизатор разбиения ${\displaystyle \lambda =[1^{m_{1}(\lambda )}2^{m_{2}(\lambda )}\dots ]}$, равный ${\displaystyle z_{\lambda }=\prod _{i}i^{m_{i}(\lambda )}m_{i}(\lambda )!}$

Свойства характеров Джека:

• Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от ${\displaystyle \alpha }$.
• Соотношение ортогональности. ${\displaystyle \sum _{\nu }z_{\nu }\alpha ^{l(\nu )}\theta _{\nu }^{\lambda }(\alpha )\theta _{\nu }^{\mu }(\alpha )=\delta _{\lambda \mu }h_{\lambda }(\alpha )\cdot h'_{\lambda }(\alpha ).}$
• При ${\displaystyle \alpha =1}$ характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы ( ${\displaystyle S_{n}}$, где ${\displaystyle n=|\lambda |}$), откуда они и получили своё название.

Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0}$, если ${\displaystyle \kappa _{m+1}>0.}$

Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если ${\displaystyle X}$ матрица с собственными значениями ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}$, тогда

${\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}$

• Demmel, James & Koev, Plamen (2006), Accurate and efficient evaluation of Schur and Jack functions, Mathematics of Computation Т. 75 (253): 223–239, DOI 10.1090/S0025-5718-05-01780-1.
• Jack, Henry (1970–1971), A class of symmetric polynomials with a parameter, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A. Mathematics Т. 69: 1–18.
• Knop, Friedrich & Sahi, Siddhartha (19 March 1997), A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials, Inventiones Mathematicae Т. 128 (1): 9–22, DOI 10.1007/s002220050134
• Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials (2nd ed.), Oxford Mathematical Monographs, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1
• Stanley, Richard P. (1989), Some combinatorial properties of Jack symmetric functions, Advances in Mathematics Т. 77 (1): 76–115, DOI 10.1016/0001-8708(89)90015-7.
• Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.
• MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)
• SAGE documentation for Jack Symmetric Functions