Формула Эйлера (дифференциальная геометрия)

Формула Эйлера — формула, позволяющая вычислить нормальную кривизну поверхности.

Нормальные сечения поверхности и нормальные кривизны

Названа в честь Леонарда Эйлера, который доказал её в 1760 году.

Формулировка

Пусть есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть — точка — касательная плоскость к в точке — единичная нормаль к в точке а — плоскость, проходящая через и некоторый единичный вектор в . Кривая получающаяся как пересечение плоскости с поверхностью называется нормальным сечением поверхности в точке в направлении Величина

где обозначает скалярное произведение, а вектор кривизны в точке , называется нормальной кривизной поверхности в направлении . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой .

В касательной плоскости существуют два перпендикулярных направления и такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

где — угол между этим направлением и , a величины и нормальные кривизны в направлениях и , они называются главными кривизнами, а направления и главными направлениями поверхности в точке . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

См. также

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.