Индикатриса Дюпена

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойства

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности в точке , и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки в направлении в касательной плоскости и имеющих длину, равную , где — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности в точке в направлении . Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

где — вектор касательной плоскости, a вторая фундаментальная форма поверхности , в точке .

Индикатриса Дюпена представляет собой:

  • эллипс, если — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • пару сопряженных гипербол, если — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
  • пару параллельных прямых, если — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

История

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена, впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

См. также

Литература

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.