Формула Карди

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил[7] следующую задачу:

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.[4]

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе[8], исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза[9].

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др.[10][11], в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман высказывает[12][13] гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.[1]

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область ${\displaystyle \Omega }$ на плоскости, с четырьмя отмеченными точками ${\displaystyle a,b,c,d}$ на границе. При каждом ${\displaystyle \delta >0}$, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) ${\displaystyle \delta }$ — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф ${\displaystyle \Omega ^{\delta }}$ с отмеченными точками ${\displaystyle a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }}$.

Для каждого ${\displaystyle \delta >0}$, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность ${\displaystyle \Pi _{\delta }}$ это вероятность наличия пути от дуги ${\displaystyle [a^{\delta },b^{\delta }]}$ к дуге ${\displaystyle [c^{\delta },d^{\delta }]}$, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей ${\displaystyle \Pi _{\delta }}$ при ${\displaystyle \delta }$, стремящемся к нулю:

${\displaystyle \Pi (\Omega ,[a,b],[c,d]):=\lim _{\delta \to 0}\Pi _{\delta }.}$

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \Omega '}$ есть конформное отображение ${\displaystyle \varphi }$, переводящее точки ${\displaystyle a,b,c,d}$ на границе ${\displaystyle \Omega }$ в точки ${\displaystyle a',b',c',d'}$ на границе ${\displaystyle \Omega '}$, то

${\displaystyle \Pi (\Omega$ ;[a,b],[c,d])=\Pi (\Omega ';[a',b'],[c',d']).}

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек ${\displaystyle a,b,c,d}$ могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости ${\displaystyle \mathbb {C} _{+}=\{Im\,z>0\}}$ для точек ${\displaystyle 0,1-u,1,\infty }$ вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ как[2]

${\displaystyle \Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {\Gamma (2/3)}{\Gamma (1/3)\Gamma (4/3)}}u^{1/3}{}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {4}{3}},u\right).}$

Это представление может быть переписано как интеграл

${\displaystyle \Pi (\mathbb {C} _{+};[1-u,1],[\infty ,0])={\frac {1}{\int _{0}^{1}(v(1-v))^{-2/3}dv}}\int _{0}^{u}(v(1-v))^{-2/3}dv.}$

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил[4], что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков ${\displaystyle [a,b],[c,d]}$, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.