Условный экстремум

Предположим, что все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции непрерывно дифференцируемы, и пусть ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ — точка условного экстремума функции ${\displaystyle f_{0}}$ при выполнении уравнений связей ${\displaystyle (*).}$  Тогда в этой точке градиенты ${\displaystyle \nabla f_{i},\,i=0,1,\dots ,m}$  являются линейно зависимыми, т. e.  ${\displaystyle \exists \,\lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m\,\colon \;\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i}|\neq 0,}$  но  ${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}=0}$ [3].

Числа ${\displaystyle \lambda _{i},\,i=0,1,\dots ,m}$ называются множителями Лагранжа и определены с точностью до умножения на произвольную ненулевую константу. Наибольший интерес представляет случай, когда ${\displaystyle \lambda _{0}\neq 0}$  (тогда, умножив все ${\displaystyle \lambda _{i}}$ на подходящую ненулевую константу, можно сделать множитель ${\displaystyle \lambda _{0}}$ равным ${\displaystyle 1}$ и, таким образом, вообще исключить его из рассмотрения). В такой ситуации вместо только что сформулированной теоремы пользуются следующим следствием из неё[4].

Если ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ — точка условного экстремума функции ${\displaystyle f_{0}}$ относительно уравнений связей ${\displaystyle (*),}$ и в ней градиенты ${\displaystyle \nabla f_{i},i=1,\dots ,m}$  линейно независимы, то  ${\displaystyle \exists \,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ такие, что в данной точке  ${\displaystyle \nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\dots +\lambda _{m}\nabla f_{m}=0.}$  В координатном виде это векторное равенство эквивалентно выполнению равенств

${\displaystyle (**)\qquad {\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\lambda _{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})+\dots +\lambda _{m}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}({\vec {x}}_{0})=0\,,}$

где ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ [3].

Равенствам ${\displaystyle (**)}$ можно дать следующую интерпретацию. Предположим, что для чисел ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ данные равенства выполняются, и объединим их в столбец ${\displaystyle {\vec {\lambda }}_{0}.}$  Составим функцию Лагранжа:

${\displaystyle L({\vec {x}};{\vec {f}},{\vec {\lambda }})=f_{0}({\vec {x}})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\,f_{i}({\vec {x}})\,,}$

где ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$ — уже произвольные числа. Тогда при ${\displaystyle {\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}}$ точка ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ является стационарной точкой функции Лагранжа, а равенства ${\displaystyle (**)}$ могут быть записаны в виде

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}\,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{2}}}\,=\,\dots \,=\,{\frac {\partial L}{\partial x_{n}}}\,=\,0\,;}$

эти соотношения и являются условиями стационарности точки ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}.}$  Добавляя к ним уравнения связей ${\displaystyle (*),}$ получаем ${\displaystyle n+m}$ уравнений относительно ${\displaystyle n+m}$ неизвестных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{m}}$[5][6].

Пример.  Найдём стороны прямоугольника максимальной площади, вписанного в окружность ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$  Здесь ${\displaystyle n=2,}$  ${\displaystyle m=1,}$  ${\displaystyle f_{0}(x,y)=4xy,}$  ${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}.}$  Составив функцию Лагранжа

${\displaystyle L(x,y)\,=\,4xy+\lambda (x^{2}+y^{2}-r^{2})}$

и записав условия её стационарности в точке условного экстремума

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}\equiv 4y+2\lambda x\,=\,0\,,\qquad {\frac {\partial L}{\partial y}}\equiv 4x+2\lambda y\,=\,0\,,}$

находим:  ${\displaystyle \lambda =-2}$  и  ${\displaystyle x=y=r/{\sqrt {2}}}$  (прямоугольник максимальной площади оказался квадратом)[6].

Если равенства ${\displaystyle (**)}$ при ${\displaystyle {\vec {\lambda }}={\vec {\lambda }}_{0}}$ выполнены и при этом (дополнительно предполагается, что в точке ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ все фигурирующие в постановке классической задачи на условный экстремум функции двукратно непрерывно дифференцируемы)  ${\displaystyle {\rm {d}}^{2}L}$ представляет собой отрицательно (положительно) определённую квадратичную форму переменных ${\displaystyle {\rm {d}}x_{1},\dots ,{\rm {d}}x_{n},}$  то ${\displaystyle {\vec {x}}_{0}}$ является точкой строгого условного максимума функции ${\displaystyle f_{0}}$ (строгого условного минимума для положительно определенной формы). Если же рассматриваемая квадратичная форма не является знакоопределённой, тогда условного экстремума нет[7].