Уравнение Рамануджана — Нагеля

Уравнение Рамануджана – Нагеля в теории чиселуравнение следующего вида:

Для него требуется найти натуральные решения неизвестных и .

Это пример экспоненциального диофантова уравнения. Уравнение названо в честь индийского математика Сринивасы Рамануджана и норвежского математика Трюгве Нагеля.

История

Данное уравнение возникает при решении следующей задачи[1]: найти все числа Мерсенна то есть числа вида , которые одновременно являются треугольными числами (то есть имеют вид ). Несложные преобразования приводят к следующему результату:

Выполнив замену получаем уравнение Рамануджана – Нагеля.

Рамануджан в 1913 году высказал гипотезу[2], что данное уравнение имеет только пять целочисленных решений:

n345715(последовательность A060728 в OEIS)
x13511181(последовательность A038198 в OEIS)

По своему обыкновению, Рамануджан не привёл доказательства и не пояснил, как он пришёл к такой гипотезе. Независимо от Рамануджана, в 1943 году аналогичную гипотезу выдвинул норвежский математик Вильгельм Юнгрен[3]. В 1948 году другой норвежский математик, Трюгве Нагель, опубликовал доказательство[4][5].

Соответствующие решениям «треугольные числа Мерсенна» часто называют числами Рамануджана – Нагеля[1]:

Их также пять: 0, 1, 3, 15, 4095 (последовательность A076046 в OEIS).

Вариации и обобщения

Немецкий математик Карл Людвиг Зигель рассмотрел несколько более общее уравнение вида:

где — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных . Зигель доказал:

  • количество решений этого диофантова уравнения в любом случае конечно[6];
  • при уравнение имеет не более двух решений, за исключением изложенного выше случая ;
  • существует бесконечно много значений для которых существуют два решения[7], например, .

Пример: Уравнение имеет шесть решений:

n3456815
x1111912961701

Ещё одно обобщение — уравнение Лебега — Нагеля:

где — целые константы, и надо найти натуральные значения переменных Уравнение названо в честь французского математика Виктора-Амеде Лебега, который в 1850 году исследовал уравнение и доказал, что оно имеет только тривиальные решения[8]:

Из результатов Шори и Тейдемана[9] следует, что число решений уравнение Лебега — Нагеля всегда конечно[10]. Бюжо, Миньотт и Сиксек решили уравнения этого типа[11] с и . В частности, обобщение исходного уравнения Рамануджана-Нагеля:

имеет положительные целочисленные решения, когда x = 1, 3, 5, 11 и 181.

См. также

  • Гипотеза Пиллаи: уравнение всегда имеет только конечное число решений.

Примечания

  1. Деза Е., Деза М. Фигурные числа. М.: МЦНМО, 2016. — С. 203—205. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
  2. S. Ramanujan (1913). “Question 464”. J. Indian Math. Soc. 5: 130.
  3. Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1943. — Vol. 25. — P. 29.
  4. Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. — 1948. — Vol. 30. — P. 62—64.
  5. Skolem, T.; Chowla, S.; and Lewis, D. J. The Diophantine Equation and Related Problems. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 663—669, 1959.
  6. Saradha, Srinivasan, 2008, с. 207.
  7. Saradha, Srinivasan, 2008, с. 208.
  8. Lebesgue, Victor-Amédée (1850). “Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation xm = y2 + 1”. Nouv. Ann. Math. Sér. 1. 9: 178—181.
  9. Shorey T. N., Tijdeman R. Exponential Diophantine equations. Cambridge University Press, 1986. — Vol. 87. — P. 137—138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 0-521-26826-5. — .
  10. Saradha, Srinivasan, 2008, с. 211.
  11. Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). “Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation”. Compos. Math. 142: 31—62. arXiv:math/0405220. DOI:10.1112/S0010437X05001739.

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.