Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

$y=x\varphi (y')+f(y'),$

где $\varphi$ и $f$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при $\varphi (y')\equiv y'$ называется уравнением Клеро[1].

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

y'=p.

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

y=x\varphi (p)+f(p).

Дифференцирование по x даёт:

p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}

или

p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx}}.

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной $y'=p=p_{0}$ , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

p_{0}-\varphi (p_{0})=0,

так как для постоянного $p_{0}$

{\frac {dp}{dx}}\equiv 0.

Если $y'=p_{0}$ , то $y=p_{0}x+C_{0}$ , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),

так как в рассматриваемом случае $p_{0}=\varphi (p_{0})$ , то

C_{0}=f(p_{0})

.

Окончательно можем написать:

y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})

.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к $p=y'$ , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

{\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f'(p)}{p-\varphi (p)}}

.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

x=w(p,C).

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

{\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}

.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

\Phi (x,y,C)=0

.

Примечания

Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.