Тригонометрические преобразования Фурье
Синус-преобразование Фурье и косинус-преобразование Фурье — одни из видов преобразований Фурье, не использующих комплексные числа.
Определение
Синус-преобразование Фурье
Синус-преобразование Фурье или функции равно
- ,
- где
- — время, — частота колебаний.
- где
Функция нечётна по , то есть
- для любого .
Косинус-преобразование Фурье
Косинус-преобразование Фурье или функции равно
-
- где
- — время, — частота колебаний.
- где
Функция чётна по , то есть для любого .
Обратное синус- и косинус-преобразование Фурье
Изначальная функция может быть найдена по формуле
Используя формулу сложения для косинуса, получим, что
- ,
- где
- и — право- и левосторонние пределы соответственно.
- где
Если функция чётная, то часть формулы с синусом обращается в нуль, если нечётная, то исчезает косинус.
Расширение на комплексные числа
Сегодня чаще используется формула синус- и косинус-преобразования Фурье в комплексном виде
Используя формулу Эйлера, получим
Ссылки
- Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, стр. 189, 211
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.