Ток вероятности

Ток вероятности ${\displaystyle {\vec {j}}}$ определяется как

${\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi )}$

и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

с плотностью вероятности ${\displaystyle \rho }$, заданной

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$.

Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec {j}}\cdot {\vec {dS}}=0}$

где ${\displaystyle V}$ — объём и ${\displaystyle S}$ — граница объёма ${\displaystyle V}$. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.

В частности, если ${\displaystyle \Psi }$ — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах ${\displaystyle V}$, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема ${\displaystyle V}$.

В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в ${\displaystyle V}$ равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из ${\displaystyle V}$.

В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.

Предположим что ${\displaystyle \Psi }$ - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$). Тогда

${\displaystyle P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV}$

определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV}$

где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма ${\displaystyle V}$ не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }$

и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от ${\displaystyle \Psi }$:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\Psi }$

Результат подстановки в предыдущее уравнение для ${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}}$ даёт

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV}$.

Теперь после перехода к дивергенции

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\vec {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec {\nabla }}\Psi \cdot {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi {\vec {\nabla }}^{2}\Psi ^{*}}$

и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:

${\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*}\right)dV}$

Если теперь вспомним выражение для ${\displaystyle P}$ и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть ${\displaystyle {\vec {j}}}$ тогда запишем выражение

${\displaystyle \int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\right)dV=0}$

которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов ${\displaystyle V}$, и интеграл можно опустить:

${\displaystyle {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0.}$