Тест Уайта

Пусть имеется линейная регрессия:

${\displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}b+\varepsilon _{t}}$

Необходимо проверить гетероскедастичность случайных ошибок модели ${\displaystyle \varepsilon }$. Тест использует остатки регрессии, оценённой с помощью обычного метода наименьших квадратов. Для теста оценивается (также обычным МНК) вспомогательная регрессия квадратов этих остатков на все регрессоры (включая константу, даже если её не было в исходной модели), их квадраты и попарные произведения:

${\displaystyle e_{t}^{2}=a_{0}+a^{T}x_{t}+x_{t}^{T}Ax_{t}+u_{t}}$

${\displaystyle e_{t}}$ — остатки регрессии;

${\displaystyle x_{t}}$ — факторы исходной регрессии;

${\displaystyle a_{0},a,A}$ — параметры вспомогательной регрессии — соответственно константа, вектор линейных коэффициентов и матрица коэффициентов при квадратах и попарных произведениях факторов.

${\displaystyle u_{t}}$-случайная ошибка вспомогательной модели.

В данной записи без ограничения общности матрицу ${\displaystyle A}$ можно считать треугольной. В другом варианте теста в модель не включаются попарные произведения, тогда матрица ${\displaystyle A}$ - диагональная.

В тесте проверяется нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности (то есть ошибки модели предполагаются гомоскедастичными — с постоянной дисперсией). В таком случае вспомогательная регрессия должна быть незначимой. Для проверки этой гипотезы используется LM-статистика ${\displaystyle LM=nR^{2}}$, где ${\displaystyle R^{2}}$ — коэффициент детерминации вспомогательной регрессии, ${\displaystyle n}$-количество наблюдений. При отсутствии гетероскедастичности данная статистика имеет асимптотическое распределение ${\displaystyle \chi ^{2}(N-1)}$, где ${\displaystyle N}$ - количество параметров вспомогательной регрессии. Следовательно, если значение статистики больше критического значения этого распределения для заданного уровня значимости, то нулевая гипотеза отвергается, то есть имеется гетероскедастичность. В противном случае гетероскедастичность признаётся незначимой (случайные ошибки скорее всего гомоскедастичны).

Статистические программы часто кроме собственно статистики ${\displaystyle nR^{2}}$ выводят также и F-статистику для проверки аналогичной гипотезы, которая имеет асимптотическое распределение Фишера ${\displaystyle F(N-1,n-N)}$

• Гетероскедастичность
• Тест Голдфелда — Куандта
• Тест Бройша — Пагана
• Тест Парка
• Тест Глейзера
• Тест ранговой корреляции Спирмена

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.