Теорема о свойстве Дарбу для непрерывной функции

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке ${\displaystyle f:[a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f\in C^{0}{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.}$ Тогда существуют ${\displaystyle c,d\in \mathbb {R} }$ такие, что

${\displaystyle f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}=[c,d].}$

• Если функция ${\displaystyle f}$ постоянна, то ${\displaystyle c=d.}$
• Теорема о свойстве Дарбу утверждает, что непрерывное отображение переводит любой отрезок в отрезок. Это свойство функции называется свойством Дарбу. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Рассмотрим, например, функцию ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ,}$ заданную формулой

  ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {\pi }{2x}}\right),&x\in (0,1]\\0,&x=0\end{matrix}}\right..}$

Тогда функция ${\displaystyle f}$ обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке ${\displaystyle x=0.}$

• Теорема Серпинского. Любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Пусть функция ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ — дифференцируемая внутри области определения, то есть ${\displaystyle F\in {\mathcal {D}}{\bigl (}(a,b){\bigr )},}$ и ${\displaystyle F'(x)=f(x),\;x\in (a,b),}$ а также дифференцируема справа в точке ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle F'_{+}(a)=f_{+}(a)}$ и слева в точке ${\displaystyle b}$: ${\displaystyle F'_{-}(b)=f_{-}(b).}$ Тогда ${\displaystyle f{\bigl (}[a,b]{\bigr )}}$ является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (то есть замкнуто и связно).

• Линейно связное пространство;
• Теорема Больцано — Коши;
• Теорема Вейерштрасса о функции, непрерывной на компакте;
• Лемма Ферма.