Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.

Формулировка

Пусть $A$ — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

наибольшее по модулю собственное значение $r$ является вещественным и строго положительным;
это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
соответствующий $r$ собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
собственное значение $r$ удовлетворяет неравенствам

\min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leqslant r\leqslant \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.

См. также

Оператор Перрона — Фробениуса

Литература

Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices, Mathematische Annalen Т. 64 (2): 248–263, DOI 10.1007/BF01449896
Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456–477
Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471–476
Frobenius, Georg (1909), Über Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514–518
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.