Теорема Рота

Теорема была впервые доказана в 1953 году Клаусом Ротом[2][12] путём адаптации кругового метода Харди — Литтлвуда. Доказательство использовало идею[13], впоследствии обобщённую и для общего доказательства теоремы Семереди: все множества заданной плотности разбиваться на две группы — «равномерные» и «неравномерные», причём под «равномерностью» понимается верхняя оценка на коэффициенты Фурье. Если множество равномерно, то наличие прогрессий в нём можно доказать напрямую, а иначе можно доказать наличие подпрогрессии, в которой плотность множества больше чем среди отрезка натурального ряда, к которому оно принадлежит.

Метод позволяет вывести оценку ${\displaystyle N_{0}(\delta )\leq e^{e^{\frac {c}{\delta }}}}$. Технические подробности доказательства, граница коэффициентов Фурье, определяющая «равномерность», и получаемые константы могут отличаться в разных источниках.

Доказательство теоремы Рота можно вывести[14] как частный случай теоремы Семереди из доказательства Семереди. Такой способ доказательства требует использования леммы регулярности Семереди и теоремы об уголках, откуда теорема Рота следует напрямую. Возможно[15] даже обойтись без использования теоремы об уголках, а выводить теорему Рота напрямую из леммы об удалении треугольников, но только в формулировке для конечных циклических групп (см. раздел «Обобщения на различные группы»).

Поскольку лемма регулярности Семереди даёт чрезвычайно большие верхние оценки на получаемую через неё величину (как минимум, башни из экспонент), то и сам метод не позволяет получить оценки лучше этих.

Роналд Грэхем в своей книге о теории Рамсея приводит упрощённый вариант доказательства, также основанный на методе Семереди, однако не использующий лемму регулярности. В доказательстве используются обобщённые арифметические прогрессии вида ${\displaystyle a+\sum \limits _{k=1}^{n}{\epsilon _{k}x_{k}}\ (\epsilon _{i}\in \left\lbrace {0,1}\right\rbrace )}$, доказать присутствие которых во множестве намного более просто, а из этого уже выводится сама теорема Рота.

Доказательство Грэхема не даёт оценок на ${\displaystyle N}$, а только показывает существование, поскольку использует существование точки в последовательности, начиная с которой все точки достаточно близки к пределу, но для предела также доказано только существование, а характер сходимости в принципе не анализируется.

Первый пример множества без прогрессий привели в 1936 году Эрдёш и Туран, предложив рассмотреть числа, которые в троичной системе содержат только цифры 0 и 2. Такое множество содержит всего лишь ${\displaystyle N^{\log _{3}{2}}}$ чисел, что очень мало по сравнению с верхними оценками.[16]

Салем и Спенсер в 1942 году обобщили идею Эрдёша и Турана на системы счисления с растущим (зависящим от размера множества) основанием и получили множество без прогрессий размера ${\displaystyle \exp \left({-O\left({\frac {\log N}{\log \log N}}\right)}\right)N}$.[17]

В 1946 году Беренд добавил геометрическую интерпретацию, сопоставив разрядам числа координаты точек в многомерном пространстве и рассматривая числа, соответствующие в этом смысле точкам сферы. Это позволило построить не содержащее прогрессий множество размера ${\displaystyle \exp \left({-O\left({\sqrt {\log N}}\right)}\right)N}$.[18]

Впоследствии оценка Беренда была увеличена на логарифмический множитель небольшим уточнением метода[19], но существенно лучших результатов по состоянию 2019 год нет.

Поскольку для некоторых обобщений теоремы Рота известны верхние оценки похожего типа[20][21], есть основания полагать, что оценка Беренда точна.

И доказательство через гармонический анализ, и определённый способ применения леммы Семереди доказывают не саму теорему, а её «циклический» вариант.

Обещаемые данной формулировкой прогрессии могут быть прогрессиями в ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{N}}$, но не быть таковыми в ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$ (например, ${\displaystyle (N-2,N-1,0)}$). Однако теорема Рота очевидным образом следует из неё если рассмотреть множество ${\displaystyle \left\lbrace {N+a:a\in A}\right\rbrace }$ как множество вычетов в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3N}}$. Это лишь на константу меняет плотность, но делает все прогрессии подходящими для ${\displaystyle {\mathbb {N} }}$. Следовательно, эта теорема эквивалентна основной теореме Рота.

Следующая теорема, сходная по идее с теоремой Рота, не следует из неё и не влечет её, но представляет интерес для отдельного изучения.

Впервые теорема для групп ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}^{n}}$ была доказана доказана Брауном и Бахлером в 1982 году[22], однако они только доказали, что для множеств без арифметических прогрессий выполняется ${\displaystyle |A|=o(q^{n})}$, но более точные ограничения на ${\displaystyle |A|}$ оставались открытым вопросом.

В 1993 году (опубликовано в 1995) Рой Мешулам (Roy Meshulam) доказал[23], что ${\displaystyle |A|\leq 2{\frac {q^{n}}{n}}}$. Его доказательство рассматривало произвольные группы и их характеры. Существуют также более упрощённые[24] варианты этого доказательства, исключительно для ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}^{n}}$, которые, используя коэффициенты Фурье в ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p}^{n}}$, напрямую обобщают идеи из аналитического доказательства теоремы Рота. Доказательство получается технически даже более простым, чем доказательство самой теоремы Рота, так что часто[24][25] даётся в качестве первого примера применения метода.

В 2012 году Бэйтман и Кац, рассматривая случай ${\displaystyle q=3}$, доказали[26] существование ${\displaystyle \epsilon >0}$ и абсолютной константы ${\displaystyle C}$, такой, что для ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{3}^{n}}$ без арифметических прогрессий выполняется ${\displaystyle |A|\leq {\frac {3^{n}}{n^{1+\epsilon }}}}$.

В 2016 году Крут, Лев и Пах доказали[27] для случая ${\displaystyle q=4}$, что ${\displaystyle |A|\leq {3.62}^{n}}$ для множеств ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{4}^{n}}$ без прогрессий. Ellenberg и Gijswijt, обобщая метод Крута, Лева и Паха, используя алгебру многочленов, доказали[28][29] существование для каждого просто ${\displaystyle q\geq 3}$ константы ${\displaystyle c=c(q)<q}$ такой, что ${\displaystyle |A|=O(c^{n})}$ если ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{q}^{n}}$ не содержит прогрессий длины 3. В их работе ${\displaystyle c(q)={\frac {q}{exp({\sup \limits _{\theta }\left\lbrace {{\frac {q-1}{3}}\theta +\ln {\frac {e^{q\theta }-1}{q(e^{\theta }-1)}}}\right\rbrace })}}}$. В частности, для случая ${\displaystyle q=3}$ выполняется ${\displaystyle |A|=o(2.756^{n})}$. При предположении ${\displaystyle \theta ={\frac {c_{0}}{q}}}$ из оптимизации функции ${\displaystyle {\frac {c}{3}}-\ln {\frac {e^{c}-1}{c}}}$ следует, что ${\displaystyle c(q)\sim {\frac {e^{c_{0}}-1}{c_{0}e^{(c_{0}/3)}}}q}$, где ${\displaystyle c_{0}}$ — абсолютная константа, являющаяся решением уравнения ${\displaystyle 2ce^{c}-3e^{c}+c+3=0}$, то есть ${\displaystyle c(q)\sim c_{1}q}$, где ${\displaystyle c_{1}\approx 0.841434...}$

Наилучшая[28] по состоянию на 2016 конструкция-контрпример позволяет[30] строить для групп вида ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{3}^{n}}$ множества размера ${\displaystyle \Omega (2.2^{n})}$, не содержащие арифметических прогрессий длины 3.

В работе Мешулама рассматривается[23] теорема Рота для произвольной группы ${\displaystyle G={\mathbb {Z} }_{k_{1}}\oplus \dots \oplus {\mathbb {Z} }_{k_{n}}}$ и выводится оценка ${\displaystyle |A|<2{\frac {|G|}{n}}}$ для множества без арифметических прогрессий длины 3.

Из этого следует существование абсолютной константы ${\displaystyle \beta >0}$ такой, что для множества ${\displaystyle A\subset G}$ без прогрессий выполняется ${\displaystyle |A|<{\frac {|G|}{(\log {|G|})^{\beta }}}}$

Классическим обобщением теоремы Рота для двумерных множеств ${\displaystyle A\subset \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace \times \left\lbrace {1,\dots ,N}\right\rbrace }$ считается теорема об уголках. Хотя там и не упоминаются арифметические прогрессии (в двумерном смысле), но теорема Рота из неё следует.