Теорема Пойнтинга

Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε₀ и μ₀ приписать ε и μ):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {B} }$, получим:

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Домножив обе части уравнения на ${\displaystyle \mathbf {E} }$, получим:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}$

Вычитая первое из второго, получим:

${\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Наконец:

${\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Поскольку вектор Пойнтинга ${\displaystyle \mathbf {S} }$ определяется как:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$

это равносильно:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}$

Механическая энергия описанной выше теоремы

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}$

где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α

${\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}$

${\displaystyle \mathbf {S_{m}} }$ — поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:

${\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}$

Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}$

Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока ${\displaystyle \mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} }$ можно выбрать форму Авраама ${\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }$, форму Минковского ${\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }$, или какую-либо другую.