Теорема Нэша — Кёйпера

Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство при можно аппроксимировать -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно:

Пусть есть Риманово многообразие и есть короткое -гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство и . Тогда для любого существует вложение (или соответственно погружение) такое, что

  1. является -гладким,
  2. (изометричность) для любых двух касательных векторов в касательном пространстве точки мы имеем:
  1. (-близость) для всех .

Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично -вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе -вложений.

История

Теорема была доказана Нэшем в предположении вместо и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Вариации обобщения

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.