Теорема Новикова о компактном слое

Теорема: Гладкое двумерное слоение на сфере ${\displaystyle S^{3}}$ имеет компактный слой, диффеоморфный тору ${\displaystyle T^{2}}$ и ограничивающий область ${\displaystyle D^{2}\times S^{1}}$ со слоением Риба.

Доказана С. П. Новиковым в 1964 г. До этого Шарль Эресманн высказал гипотезу, что любое гладкое двумерное слоение на ${\displaystyle S^{3}}$ имеет компактный слой, что было справедливо для всех известных тогда примеров. Так, слоение Риба имеет слой, являющийся тором ${\displaystyle T^{2}}$.

В 1965 году была доказана теорема о компактном слое для произвольного многообразия ${\displaystyle M^{3}}$:

Теорема: Пусть на замкнутом многообразии ${\displaystyle M^{3}}$ с заданным на нём гладким двумерным слоением ${\displaystyle F}$ выполняется одно из условий:

1. фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}(M^{3})}$ конечна,
2. вторая гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{2}(M^{3})\neq 0}$,
3. существует замкнутая трансверсаль, гомотопная нулю,
4. существует слой ${\displaystyle L\in F}$ такой, что отображение ${\displaystyle \pi _{1}(L)\to \pi _{1}(M^{3})}$, индуцированное включением, имеет нетривиальное ядро.

Тогда ${\displaystyle F}$ имеет компактный слой рода ${\displaystyle g\leq 1}$. Более того, во всех случаях, кроме случая 2, слоение включает рибовскую компоненту, а в случае 2 либо ${\displaystyle F}$ включает рибовскую компоненту, либо все слои замкнуты и диффеоморфны сферам ${\displaystyle S^{2}}$ или проективным плоскостям ${\displaystyle RP^{2}}$.

В терминах накрытий эта теорема формулируется следующим образом:

Гладкое двумерное слоение на замкнутом многообразии ${\displaystyle M^{3}}$ с нестягиваемой универсальной накрывающей имеет компактный слой.

В 1965 году теорема Новикова была доказана для слоений класса ${\displaystyle C^{\infty }}$.

В 1970 году было дано доказательство для класса ${\displaystyle C^{2}}$[1],

В 1975 году — для слоений класса ${\displaystyle C^{1}}$[2].

Наконец, в 1982 году В. Солодов доказал теорему Новикова для слоений класса ${\displaystyle C^{0}}$. Этот результат тем более интересен, что ещё в 1974 году П. Швейцер в построил примеры ${\displaystyle C^{0}}$-слоений на сферах ${\displaystyle S^{2k+1}}$, ${\displaystyle k>1}$, не имеющих компактных слоев[3].

В 1973 году Вагнер рассмотрел слоения коразмерности 1 с морсовскими особенностями (то есть локально устроенными как множества поверхностей уровня функции Морса) на сфере ${\displaystyle S^{3}}$. Морсовские особенности бывают «сферическими» и «коническими».

Теорема[4]: Пусть слоение имеет s сферических особенностей и с конических.

• Если ${\displaystyle s=c}$, слоение включает рибовскую компоненту.

• Если ${\displaystyle s>c}$, то ${\displaystyle s=c+2}$ и у такого слоения общего положения все неособые слои диффеоморфны сфере ${\displaystyle S^{2}}$.

• Если ${\displaystyle s<c}$, слоение может не иметь компактных слоев.

• С. П. Новиков. Топология слоений//Тр. Моск. мат. о-ва. — 1965. — Т.14. — с.249—278.
• И. Тамура. Топология слоений — М: Мир, 1979.
• D. Sullivan, Cycles for the dynamical study of foliated manifolds and complex manifolds, Invent. Math., 36 (1976), p. 225—255.