Теорема Мэйсона — Стотерса
Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году,[1] и Мейсона, который вновь открыл её после этого.[2]
Формулировка
Пусть — попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда
Здесь — радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей . Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у ; в этом случае это просто число различных корней .[3]
Примеры
- Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики недостаточно требовать, чтобы все были неконстантными. Например, тождество даёт пример, где , а .
- Если взять , то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
- Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если для попарно взаимно простых над полем характеристики, не делящей , и , то хотя бы один из нулевой или все константы.
Доказательство
Из условия следует, что и . Обозначим . Отсюда следует, что делит . Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит .
Ясно также, что . От противного: если , то , значит делит , поэтому (поскольку при любом неконстантном ). Аналогично получаем, что , что противоречит условию.
Из обоих утверждений получаем, что
По определению имеем , значит
Для любого многочлена верно, что . Подставляя сюда и подставляя в неравенство выше, получаем
мы получаем, что
что и требовалось.
Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.[4]
Обобщения
Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.
Пусть — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть — гладкая проективная кривая рода , и пусть — рациональные функции на , такие что , и пусть — множество точек в , содержащее все нули и полюсы . Тогда
Здесь степень функции в это степень отображения, индуцированного из в .
Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.[5]
Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch[6] и независимо Brownawell и Массером,[7] которое даёт верхнюю оценку для уравнений , для которых верно, что нет подмножеств , которые являются -линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что
Ссылки
- Stothers, W. W. (1981), Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2 Т. 32: 349–370, DOI 10.1093/qmath/32.3.349.
- Mason, R. C. (1984), Diophantine Equations over Function Fields, vol. 96, London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge, England: Cambridge University Press.
- Lang, Serge Algebra (неопр.). — New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — С. 194. — ISBN 0-387-95385-X.
- Snyder, Noah (2000), An alternate proof of Mason's theorem, Elemente der Mathematik Т. 55 (3): 93–94, doi:10.1007/s000170050074, <http://cr.yp.to/bib/2000/snyder.pdf>.
- Silverman, J. H. (1984), The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc. Т. 95: 3–4.
- Voloch, J. F. (1985), Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Brasil. Mat. Т. 16: 29–39.
- Brownawell, W. D. & Masser, D. W. (1986), Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. Т. 100: 427–434.
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture