Теорема Манна — Вальда

Теорема Манна — Вальда (англ. Mann–Wald theorem) или теорема о непрерывном отображении (англ. continuous mapping theorem, CMT) — положение теории вероятностей, которое утверждает, что непрерывные функции сохраняют предел даже в том случае, если их аргументы — последовательности случайных величин. Непрерывная функция в определении Гейне отображает сходящуюся последовательность в другую сходящуюся последовательность: если x_n → x, то g(x_n) → g(x). Теорема утверждает, что этот результат сохраняется и при замене детерминированной последовательности {x_n} на последовательность случайных величин {X_n}, а понятие сходимости для вещественных чисел — на один из типов сходимости случайных величин.

Теорема впервые доказана Манном и Вальдом в 1943 году[1].

Формулировка

Пусть {X_n}, X — случайные элементы, определённые на метрическом пространстве S. Пусть функция g: S→S′ (где S′ есть другое метрическое пространство) разрывна в точках из множества D_g причём Pr[X ∈ D_g] = 0. Тогда[2][3][4]

$X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ g(X);$
$X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ X\quad \Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!as\!\!}}\ g(X).$

См. также

Теорема Слуцкого

Примечания

Amemiya, 1985, p. 88
Van der Vaart, 1998, Theorem 2.3, page 7
Billingsley, 1969, p. 31, Corollary 1
Billingsley, 1999, p. 21, Theorem 2.7

Литература

Анатольев, Станислав. Эконометрика для продолжающих. Курс лекций (рус.). — Москва, 2002.
Amemiya, Takeshi. Advanced Econometrics (неопр.). — Cambridge, MA: Harvard University Press, 1985. — ISBN 0-674-00560-0.
Billingsley, Patrick Convergence of Probability Measures (неопр.). — John Wiley & Sons, 1969. — ISBN 0-471-07242-7.
Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures (неопр.). — 2nd. — John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
Mann, H. B.; Wald, A. On Stochastic Limit and Order Relationships (англ.) // Annals of Mathematical Statistics : journal. — 1943. — Vol. 14, no. 3. — P. 217—226. — doi:10.1214/aoms/1177731415. — .
Van der Vaart, A. W. Asymptotic statistics (неопр.). — New York: Cambridge University Press, 1998. — ISBN 0-521-49603-9.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Amemiya, 1985, p. 88

[2] Van der Vaart, 1998, Theorem 2.3, page 7

[3] Billingsley, 1969, p. 31, Corollary 1

[4] Billingsley, 1999, p. 21, Theorem 2.7