Теорема Майерса

Если кривизна Риччи полного ${\displaystyle n}$-мерного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ ограничена снизу положительной величиной ${\displaystyle (n-1)k}$ при некотором ${\displaystyle k}$, то его диаметр не превосходит ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$. Более того, если диаметр равен ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$, то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$.

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого Риманова многообразия ${\displaystyle M}$. В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle M}$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}M}$ конечна.

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.[1]

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны,[2] (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана Майерсом.[3]

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.[4]

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)